4.5.2. Расчет стержневого концентратора с инструментом

Стержневой концентратор представляет собой твердый стер­жень переменного сечения или переменной плотности. Его принцип действия основан на явлении увеличения амплитуды смещения частиц стержня при уменьшении его поперечного сечения или плот­ности в соответствии с законом сохранения количества движения. Увеличение амплитуды смещения будет тем больше, чем больше разница площадей поперечного сечения или плотностей противо­положных концов стержня.

Отношение амплитуд смещений (или скоростей) на выходе и входе инструмента называется коэффициентом трансфор­мации: , где и – амплитуды смещений соответ­ственно на выходном и входном торцах инструмента; и – амп­литуды скоростей на выходном и входном торцах.

Значение коэффициента трансформации выбирают в зависимо­сти от требуемых значений амплитуды смещений на рабочем торце инструмента. Например, если амплитуда смещений должна состав­лять 30...40 мкм, то, учитывая, что амплитуда колебаний магнитострикционного преобразователя в оптимальном режиме работы под нагрузкой составляет 5...6 мкм, общий коэффициент трансформации М = 6...7. Общее увеличение амплитуды необходимо распределить между концентратором и инструментом. На практике обычно амп­литуда в концентраторах увеличивается в 2...2,5 раза, а в инстру­ментах – в 2,5...3 раза.

Параметры стержневого концентратора, совершающего продоль­ные упругие колебания, приближенно можно рассчитывать как параметры акустического волновода, в котором распространяются колебания, характеризующиеся постоянной амплитудой по поперечному сечению. Сдвиги в плоскости колебаний и смещения в по­перечных сечениях не учитываются.

Общее условие резонанса механических колебательных систем состоит в том, чтобы вдоль одного из линейных размеров системы уложилось целое число полуволн. Для продольных колебаний рас­стояние между соседними узлами и пучностью стоячей волны рав­но половине длины бегущей волны, поэтому можно определить длину волны продольных колебаний стержня , используя фор­мулы 4.2.1:

, (4.16)

где – скорость распространения звуковой волны вдоль стержня.

При резонансе или , где – длина стержня; а п = 1, 2, ... .

Из уравнения (4.16) с учетом условий резонанса находим ре­зонансную частоту продольно колеблющегося стержня:

. (4.17)

Определение длины стержня по формуле (4.17) возможно только для цилиндрического инструмента (М = 1). Аналитические расчеты инструментов с коэффициентом трансформации значительно сложнее. Для расчетов используют графические ме­тоды. Они позволяют найти длину инструмента , место располо­жения узла смещения , коэффициент трансформации М. Для оп­ределения значений этих величин необходимо знать входной и выходной приведенные радиусы рассчитываемого инструмента. Приведенный радиус поперечного сечения – это радиус круга с площадью, равной площади поперечного сечения инстру­мента. Если, например, инструмент имеет форму тела вращения с внутренним и наружным радиусами и то приведенный радиус .

На рис. 4.12 показана схема расчета конического инструмента с помощью графического метода.

Входная сторона концентратора с радиусом поперечного се­чения соединяется с преобразователем, а к выходной стороне с ра­диусом крепится рабочий инструмент. Выходная сторона инст­румента обычно служит рабочим торцом, а входная сторона кре­пится к концентратору. Расстояние, на котором расположен узел скоростей инструмента, обозначим , т.е. в этом сечении продоль­ных колебаний нет, амплитуда колебаний и скоростей здесь прак­тически равна нулю.

Обычно при расчетах задают частоту колебаний , коэффици­ент трансформации М, амплитуду смещений , размеры попереч­ного сечения у рабочего торца, материал, из которого изготовляют инструмент.

Необходимо вычислить длину инструмента , размеры попереч­ных сечений , распределение амплитуд напряжений и смещений , в частности места размещений пучностей и узлов стоячих волн (см. рис. 4.12).

Если заданы размеры входного и выходного поперечных сече­ний, то по кривой 1 (рис. 4.17) определяют коэффициент транс­формации М. Если же задан коэффициент трансформации М, то по кривой 1 определяют соответствующее значение отношения вход­ного и выходного приведенных радиусов , затем по кривой 2 находят отношение длины инструмента к длине волны . Чтобы вычислить длину инструмента, необходимо по формуле (4.16) рассчитать длину продольных волн. Значение скорости звука для данного материала рассчитывается или берется из таб­лиц. Зная длину волны , определяем длину стержня из соотно­шения . Кривая 3 позволяет найти отношение координаты узла скоростей к длине инструмента .

Рис. 4.17. Кривые для расчета параметров УЗО.

Пример. Частота колебаний инструмента = 18,0 кГц; материал инструмен­та – алюминиевый сплав Амг6; выходной радиус инструмента = 8 мм; коэф­фициент трансформации М = 2,5.

Зная коэффициент трансформации, по кривой 1 (рис. 4.17) находим отно­шение приведенных радиусов на входе и выходе инструмента: . Отсюда мм. По кривой 2 для значения находим отношение . Чтобы вычислить длину инструмента , определяем по формуле (4.16) длину волны продольных колебаний. Для сплава Амг6 скорость звука = 5200 м/с. При частоте колебаний =18∙10³ Гц длина волны в сплаве Амг6 мм.

Длина конического инструмента = 158 мм. По кривой 3 найдем точ­ку расположения узла скоростей: = 0,6, откуда = 94,8 мм, т.е. на рас­стоянии 94,8 мм от выходного торца инструмента расположен узел скоростей продольных колебаний. На рис. 4.12 приведена эпюра распределения колеба­нии . Обычно в узле колебаний размещают фланец, с помощью которого коле­бательная система крепится к станку.

Радиусы поперечных сечений конуса рассчитываются по формуле

.

Знакопеременные напряжения, возникающие в колебательных системах, могут привести к разрушению концентратора, инструмен­та или места их соединения. Напряжения рассчитывают аналити­ческим путем, например по формуле (4.7), или определяют гра­фически (см. рис. 4.11). Полученные значения напряжений должны быть сопоставлены со значениями предела выносливости мате­риала. Для нормальной работы материала без разрушения необхо­димо, чтобы запас прочности составлял п = 1,5...2,0.

Из материалов, применяемых для изготовления концентраторов и инструментов, достаточно вы­сокий предел выносливости имеет сталь 45. Низкоуглеродистые ста­ли обладают небольшим сопро­тивлением усталости, а высоколе­гированные – большим коэффи­циентом потерь. Хорошо зареко­мендовали себя инструменты из титановых сплавов.

В колебательной системе в на­иболее тяжелом положении находятся места соединения преобра­зователя, концентратора и инст­румента. Пассивные элементы системы – концентратор, частот­но-понижающая накладка – со­единяются с преобразователем обычно пайкой высокотемпературными припоями, сваркой, склеиванием или болтами. Магнитострикционные преобразова­тели чаще всего припаивают к концентратору, а пьезоэлектриче­ские и ферритовые приклеивают (иногда дополнительно использу­ются болтовые соединения).

Рабочие инструменты при ме­ханической обработке быстро из­нашиваются, поэтому их целесо­образно делать сменными. Рабо­чий инструмент крепится к кон­центратору с помощью резьбового соединения. Иногда инструмент присоединяют с помощью накид­ных гаек. В этом случае резьбу выполняют на наружной части концентратора.

Пассивные элементы обычно выполняются как колебательная система, в которой укладывается целое число длин полуволн. Рас­пределение смещений и напряжений в концентраторе и инструмен­те имеет волновой характер. Вследствие применения паяных и резь­бовых соединений в системе преобразователь – концентратор инструмент нужно добиваться совпадения собственных частот каждого из элементов. В противном случае напряжения в местах соединений возрастают и могут вызвать нарушение механической связи.

На рис. 4.18 показано распределение амплитуд смещений и напряжении по длине колебательных систем. На рис. 4.18, а показана колебательная систе­ма, в которой преобразователь 3, концентратор 2 и рабочий инструмент 1 каж­дый имеет полуволновую длину, т.е. все элементы колебательной системы ра­ботают на одинаковой собственной частоте колебаний. В этом случае места соединения преобразователя с концентратором и концентратора с инструментом находятся в узлах напряжений и амплитуды напряжений в этих местах мини­мальны.

На рис. 4.18, б, в изображены колебательные системы, в которых собствен­ные частоты отдельных элементов различны. На рис. 4.18, б собственная часто­та колебаний рабочего инструмента меньше, чем собственная частота колебаний преобразователя и концентратора. Поэтому резонансная частота всей колеба­тельной системы также снижается и места соединений преобразователя, концент­ратора и инструмента не попадают в узлы напряжений, амплитуды напряжении в этих местах возрастают, что может вызвать нарушение механической связи. Чтобы все элементы системы работали на одной резонансной частоте, инструмент следует укоротить.

Если собственная частота колебаний инструмента выше частот колебаний преобразователя и концентратора, то общая частота системы также повысится, что приводит к перераспределению узлов и пучностей в системе и увеличению амплитуд напряжении в местах соединения элементов системы (рис. 4.18, в).

В особенно тяжелых условиях находится резьбовое соединение между концентратором и инструментом, когда вследствие несовпа­дения собственных частот оно оказывается рядом с пучностью на­пряжений. Это объясняется тем, что в этом месте действуют сум­марные напряжения, обусловленные ультразвуковыми колебаниями системы и натягом резьбы.

Даже при совпадении зоны крепления с узлом напряжений в крайних участках резьбового соединения появляются напряжения, значения которых существенно отличаются от нуля. Чтобы избе­жать этого, необходимо сверлить отверстия на минимально воз­можную глубину. Направляющие шейки снижают механическую прочность в резьбовом соединении концентратора.

Длина резьбового соединения определяется минимально необхо­димым числом ниток резьбы. Первая, наиболее нагруженная нитка, воспринимает около 35 % нагрузки, а на седьмую нитку приходится уже всего лишь 3 %. Поэтому длину резьбы целесообразно ограни­чить семью-восемью нитками. Знакопеременные напряжения в зо­не резьбы снижают угол трения в резьбовой паре. Чтобы не про­исходило самопроизвольного развинчивания, рекомендуется при­менять резьбы с углом

Рис. 4.18. Распределение амплитуд смещений и напряжений по длине колебательных систем, где собственная частота отдельных элементов а) совпадает, б) и в) различна: 1 - рабочий инструмент, 2 - концентратор, 3 – преобразователь.

подъема витка не более 1,5^е, т.е. приме­нять мелкие резьбы.

Когда ультразвуковая колебательная система используется для интенсификации процессов резания, на металлорежущие инструмен­ты (резец, сверло, фрезу и т.д.) действуют более высокие силы резания, чем при ультразвуковой размерной обработке, и расчет узлов головки на прочность необходимо проводить по максималь­ным значениям сил резания и крутящих моментов.