Зміст дисципліни.

Розділ 1. Диференціальне числення функції однієї та багатьох змінних.

Література:

1. Барковcький В. В., Барковський Н.В. Математика для економістів. Вища математика 1.ч.-К.: Національна академія управління, 1997-397с, с199-237.

Методичні рекомендації.

Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції в точці х до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля. Це число позначається через або у'. Функцію, яка має похідну в точці називають диференційованою в точці . Операція знаходження похідної називається диференціюванням. Таким чином: у' = .

Якщо функція диференційована в кожній точці деякого проміжку, то вона називається диференційованою на цьому проміжку.

Механічний зміст похідної

Похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні аргументу; зокрема: похідна за часом є міра швидкості зміни, застосовувана до найрізноманітніших фізичних величин. Наприклад, миттєва швидкість v нерівномірного прямолінійного руху є похідною від функції, що виражає залежність пройденого шляху S від часу t.

S = S(t) – залежність пройденого шляху від часу;

v = S'(t) – швидкість прямолінійного руху;

a = v'(t) – прискорення прямолінійного руху.

Головну лінійну частину приросту функції називають диференціалом цієї функції. Диференціал функції у = f (х) позначають d у або df (х)

d у = f¹(х) d х

Звідси, похідна функції дорівнює відношенню диференціала функції до диференціала незалежної змінної

f¹ ( x ) =

При дослідженні функції заданої аналітично, важливо визначити її інтервали зростання, спадання, опуклість графіка функції.

Для знаходження інтервалів монотонності заданої функції у = f (х) доцільно дотримуватись такого порядку:

1) знайти похідну f¹ (х);

2) знайти корені рівняння f¹ (х) =0;

3) визначити знак похідної f ¹ (х) в кожному із інтервалів на які поділяється

область існування функції f (х) знайденими коренями рівняння f ¹ (х) = 0;

4) за одержаними знаками похідної зробити висновок в якому інтервалі

функція зростає, а в якому спадає.

Щоб визначити, в яких критичних точках функція має екстремум, треба застосувати достатні умови існування екстремуму і дослідити функцію на екстремум за схемою:

1) знайти похідну функції f¹ (х);

2)знайти критичні точки першого роду;

3)визначить знак f¹ (х) в околі кожної критичної точки;

4)зробити висновок, чи має функція екстремум у знайдених точках і який саме;

5)обчислюють екстремальні значення функції в точках екстремуму.

Для науково обґрунтованого дослідження функції та побудови її графіка доцільно дотримуватись такої схеми:

1. Знайти область визначення функції, точки розриву, інтервали неперервності.

2. Дослідити функцію на парність чи непарність, періодичність.

3. Знайти асимптоти графіка функції.

4. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат.

5. Знайти критичні точки першого роду, інтервали зростання та спадання функції, точки екстремумів та екстремальні значення функції.

6. Знайти критичні точки другого роду, інтервали опуклості та угнутості графіка функції, точки перегину та значення функції в точках перегину.

7. Згідно з результатами дослідження побудувати у системі координат графік функції.