Питання для самоконтролю.

1. Дати означення матриці та її розміру. Які існують рівновиди матриць?

2. Які елементи утворюють головну та неголовну діагоналі матриці?

3. За якими правилами матрицю помножують на дійсне число, знаходять алгебраїчну суму матриць, добуток матриць?

4. Дати означення визначника, за якими правилами обчислюють визначники 2,3 та n – го порядків?

5. Як визначають і знаходять мінор та алгебраїчне доповнення елемента а_ij матриці А ?

6. Сформулюйте властивості визначника.

7. Дати означення рангу матриці та вказати методи його знаходження.

8. Як визначають та позначають обернену матрицю до матриці А?

9. При яких умовах існує обернена матриця?

10. Дати означення системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

11. Яка система лінійних алгебраїчних рівнянь називається сумісною?

12. Сформулюйте правило Крамера.

13. Наведіть алгоритм розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом.

14. У яких випадках система лінійних алгебраїчних рівнянь має нескінчену кількість розв’язків?

15. Сформулюйте алгоритм кроку перетворення Гаусса Жордана.

16. Дати означення базису.

17. Які вектора називаються лінійно незалежними?

Приклади розв’язання типових задач.

П

1 2 3 -1 1 2

А = 4 5 6 та В = 3 2 1

2 1 4 1 3 2

риклад 1. Знайти добуток матриць.

1 2 3 -2 1 2 1(-2)+ 2·3 + 3·1 1 + 4 + 9 2 + 2 +6

АВ = 4 5 6 3 2 1 = 4(-2)+ 5·3 + 6·1 4 + 10 + 18 8 + 5 + 12 =

2 1 4 1 3 2 2(-2) + 1·3 + 4·1 2 + 2 + 12 4 + 1 + 8

7 14 10

= 13 32 25

3 16 13

Розв’язування.

2 -3 0

Приклад 2. Обчислити визначних ∆ = 1 4 3

-5 6 0

Р озв’язування . Згідно з формулою

П

а₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а₂₃ = а₁₁ а₂₂ а₃₃ + а₂₁ а₃₂ а₁₃ + а₁₂ а₂₃ а₃₂ - а₁₃ а₂₂ а₃₁ – а₁₂ а₂₁ а₃₃ – а₁₁ а₂₃ а₃₂

а₃₁ а₃₂ а₃₂

одержимо

2 -3 0

1 4 3 = 2·4·0 + 1·6·0 + (-3)·3· (-5) - (-5) · 4·0 - 1· (-3)·0 - 6·3·2 =45– 36 =9

-5 6 0

1 2 -3

А = 3 2 -4

2 -1 5

риклад 3. Знайти обернену матрицю до матриці

Розв’язування. Спочатку впевнимось, що матриця А має обернену А^-1.

М

1 2 -3

А = 3 2 -4 = 1·2·5 + 3·(-1)·(-3) + 2·2· (-3) - 1·(-1)· (-4) - 3·2·5 = -19 ≠0

2 -1 5

атриця А має три рядки та три стовпця, тому вона квадратна порядку 3, Її визначник

О

1 А₁₁ А₂₁ ….. А_n1

А^-1= A₁₂ A_{22 ……..} A_n2

│А│ …………………

A_1n A_2n …... A_nn

тже, матриця А має обернену А^-1, яку знайдемо за формою

Алгебраїчними доповненнями до елементів матриці А будуть :

2 -4 3 -4 3 2

А₁₁ = -1 5 = 6 А₁₂ = 2 5 = - 23 А₁₃ = 2 -2 = -7

2 -3 1 -3 1 2

А₂₁ = -1 5 = -7 А₂₂ = 2 5 = 11 А₂₃ = - 2 -1 = 5

2 -3 1 -3 1 2

А₃₁ = 2 -4 = -2 А₃₂ = 3 -4 = -5 А₃₃ = 3 2 = -4

Т

-1 6 -7 -2

А^-1 = __ -23 11 -5

19 -7 5 -4

аким чином , одержали

П

х₁ – 2х₂ + 5х₃ = - 2

2х₁ – 3х₂ + 4х₃ = -8

4х₁ + х₂ - 3х₃ = -13

риклад 4. Розв’язати за правилами систему рівнянь

Р

1 -2 5

∆(А) = 2 -3 4 = 9 – 32 + 10 + 60 – 12 – 4 = 31 = 0

4 1 -3

озв’язування. Задача неоднорідна система 3 лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими. Основний визначник цієї системи.

Тому, згідно з правилом Крамера, задана система має єдиний розв’язок, який знайдено за формулами

∆к

x_к = ∆(А) , k = 1,2,…. - , n

С

-2 -2 5

∆₁ = -8 -3 4 = - 93

-13 1 -3

1 -2 5

∆₂ = 2 -8 4 = 62

4. -13 -3

1 -2 -2

∆₃ = 2 -3 -8 =31

4 1 -13

початку знайдемо допоміжні визначники:

Т епер за формулами знаходимо

∆₁ -93

х ₁ = = = -3

∆(А) 31

∆₂ 62

х ₂ = = = 2

∆(А) 31

∆₃ 31

х ₃ = = = 1

∆(А) 31

Розв’язком цієї системи буде ( -3; 2; 1)

П

2х₁ + х₂ – х₃ – х₄ = 2

4х₁ + х₃ – 7х₄ = 3

2х₂ – 3х₃ – х₄ = 1

риклад 5. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язування. Задана система 3 рівняння з 4 невідомими. Виконаємо елементарні перетворення з розширеною матрицею.

З

2 1 -1 -1 2 2 1 -1 -1 2 2 1 -1 -1 2

4 0 1 -7 3 0 -2 3 -1 -1 0 -2 3 -1 -1

0 2 -3 1 1 0 2 -3 -1 1 0 0 0 0 0

відси випливає , що основна та розширена матриці мають рівні ранги :

r (А) = r (А) = 2. Знайдемо мінор другого порядку , який не дорівнює нулю.

2 1

Наприклад: 0 -2 =-4 =0

Мінор , який не дорівнює нулю , має порядок, рівний рангу r = r (А) = r (А), називають базисним мінором, тому обраний нами мінор = базисний. Невідомі х₁ та х₂, для яких елементи базисного мінору є коефіцієнтами називають базисними невідомими. Інші невідомі системи х₃ та х₄ – вільні. Останній вигляд розширеної матриці відповідає такій системі:

2х₁ + х₂ – х₃ – х₄ = 2 2х₁ + х₂ = 2 + х₃ + х₄

-2х₂ + 3х₃ – х₄ = -1 -2х₂ = -1 – 3х₃ +х₄

Вільні невідомі перенесли у праву частину системи. Ми одержали базисні змінні х₁ та х₂ як функції х₃ та х₄

Вільними невідомими х₃ та х₄ можна давати будь – які значення : х₃ = С₁, х₄ = С₂, де С₁ та С₂ – довільні стали. Отже, одержуємо нескінченну кількість розв’язків системи випадку:

Розділ 4: Елементи теорії ймовірності.

Література:

1. Барковський В.В., Барковський Н.В. Математика для економістів : Вища математика, ч.2, Н. Націцональна академія управління, 1997 – 397с, с 72 – 97.