Лекція №5. Металевий тип зв’язку. Властивості металевих кристалів. Метали в наближенні вільних електронів

Попередньо розглянуті нами типи зв’язку в кристалах реалізуються тоді, коли всі електрони розподілені по замкнутих електронних оболонках, локалізованих поблизу ядер. Електронна густина між ядрами незначна. Тоді взаємодію між іонами можна розглядати як взаємодію між зарядженими сферами, скориставшись для цього законами класичної фізики.

Однак для багатьох кристалів густина електронів у міжіонному просторі доволі велика і розраховувати зв’язки у таких кристалах за вище наведеними схемами не можна. Для таких кристалів поведінка електронів дуже важлива, тому необхідно враховувати електрон-електронну та електрон-іонну взаємодії. Метали належать саме до таких кристалів.

Найпростішу модель металу можна уявити собі як іонний каркас з періодично розміщених позитивно заряджених іонів (іонних остовів), який помістили у однорідний від’ємнозаряджений «газ», що складається з вільних електронів.

Колективізація (усуспільнення) валентних електронів власне і визначатиме властивості металевих кристалів. Справді, металевий зв’язок, утворений таким чином, є сферично симетричним, а отже ненаправленим. Для нього характерними будуть високі координаційні числа та щільне пакування часток, малі коефіцієнти стисливості та теплового розширення. Вільні електрони визначатимуть високу електро- та теплопровідності. Для металів характерними є висока відбивна здатність та непрозорість для електромагнітних хвиль від найнижчих частот до далекої ультрафіолетової області.

Переважна більшість металів має структури типу міді (ГЦК), магнію (гексагональна щільноупакована, ГЩУ) та вольфраму (ОЦК). Механічні властивості металів дуже різні і сильно залежать від типу кристалічної структури. Так ГЦК мідь – один із найпластичніших матеріалів, який при кімнатних температурах можна розкатати у фольгу мікронних розмірів. А гексагональний берилій – крихкий метал, пластини якого товщиною 1- 2 мм можна легко зламати одним порухом руки.

Енергію зв’язку металевих кристалів можна розрахувати методом Евальда.

, (10)

де , де n- число атомів в елементарній комірці.

Розрахунки, проведені за цією формулою для лужних металів дають значення енергії які відрізняються від експериментальних на 10-20%, а для Ве та Мg відрізняються в 4-5 разів.

Як бачимо, теорія не може точно описати енергію взаємодії в металевих кристалах.

Спробуємо розглянути на базі цієї моделі інші властивості металів: електропровідність, ефект Холла, електронну теплоємність, як це зробив Друде у 1900 році.

Електропровідність. На електрони в Ме, який знаходиться в полі Е, діє сила F= -eE , е- заряд електрона (візьмемо його додатнім і поставимо знак «–»).

Тоді прискорення, з яким буде рухатись електрон

(11)

Оскільки початкова (до початку дії поля) швидкість може бути будь-якою (рух електронів хаотичний) як за напрямком, та і за величиною, то середнє значення початкової швидкості = 0. В результаті середнє значення швидкості електрона в зовнішньому електричному полі:

(12)

Якщо в одиниці об’єму є n електронів, то густина струму

, (13)

або електропровідність , або середній час руху електрона .

Тоді середня довжина вільного пробігу електрона .

В теорії Друде електрони підпорядковуються законам класичної статистики (ідеальний газ електронів). Нагадаємо, що Друде вважав, що електрони в Ме взаємодіють тільки з іонними остовами, а в проміжках між зіткненнями не взаємодіють один з одним. Теплова рівновага настає за рахунок зіткнення електронів з іонами. Тому при тепловій рівновазі середньоквадратична швидкість .

Врахувавши останнє співвідношення запишемо питому провідність:

. (14)

Розрахунки проведені за цими формулами дають τ= 1-20·10^-14 с, v_сер = 10⁵ м/с, Λ = 1-10 ·10^-10 м при Т = 77 К значення, які видались дослідникам достатньо достовірними.

Явним недоліком теорії Друде було те, що електропровідність виражають через час релаксації, для теоретичної оцінки якого не було ніяких теоретичних уявлень. Тому для доведення коректності моделі Друде необхідні були характеристики, які б не залежали від часу релаксації. До таких характеристик належить коефіцієнт Холла.

Ефект Холла. Схема експерименту проста: поле Е_х викликає електричний струм j_x . Одночасно до провідника прикладають поле Н||Z . В результаті на електрон діє сила Лоренца

, (15)

де е – заряд електрона, с – швидкість світла у вакуумі, v – швидкість електрона, яку він набув під дією поля, Н –вектор напруженості магнітного поля. Ця сила відхиляє електрони у напрямку осі –y. А оскільки у цьому напрямку провідник не замкнутий, то електрони накопичуються на границі провідника, створюючи електричне поле Е_у, яке буде протидіяти накопичуванню заряду. У рівноважному стані дія цього поля повністю компенсує силу Лоренца, тому воно буде пропорційним до Н і струму j_x у провіднику:

, (16)

де - коефіцієнт Холла.

Цей коефіцієнт можна знайти із співвідношення, що описує рух електрона під дією електричного та магнітного полів:

, (17)

де - сила Ньютона, - своєрідна сила опору. В стаціонарному стані це рівняння перепишеться в координатних осях XYZ

.

(18)

У нашому випадку Н_z=Н, тому замінимо і помножимо вираз на . Тоді ( 18) перетвореться у

(19)

Поле Е_у знайдемо з умови j_у = 0. . Отже коефіцієнт Холла дорівнює . Як бачимо коефіцієнт Холла залежить лише від концентрації носіїв. Концентрація носіїв у свою чергу визначатиметься валентністю металів n’ і в розрахунку на один атом повинна була б співпадати з нею. В експериментах з різними металами визначали електрорушійну силу Холла Е_у і за нею визначали n’. Виявилось що ця величина для лужних металів складає 1,1-1,3; для Ве та магнію -0,2 – - 0,4, а для тривалентних Al та In – - 0,3. Отже, теорія Друде не може пояснити, чому це так. Ця теорія не могла пояснити і додатній знак константи Холла, який спостерігався у деяких елементів, і залежність константи Холла від величини Н, і залежність електронної теплоємності від температури. Справді, вільні електрони підпорядковуються класичній теорії, а отже, на кожну ступінь вільності електрона припадає 1/2kТ енергії . Тоді електронна теплоємність С_v=dU/dT=3/2k, не повинна залежати від температури, хоча експеримент показує, що температурна залежність С_v(T) існує. Більше того, пізніші експерименти по визначенню електропровідності високо чистих металів показали, що σ в них набуває таких значень, що розраховане за теорією Друде значення Λ може бути ~ 1 см, що є нереальним.

Отже металевий зв'язок для свого розрахунку потребував інших, не класичних підходів. І такі спроби були зроблені спочатку Фермі. Він запропонував розглядати електронний газ у металах як вільний газ електронів, на які накладена заборона Паулі. Тобто, він запропонував розглядати електрони як квантові частки, енергія яких квантується, і на кожному енергетичному рівні може знаходитись не більше двох електронів. Ця спроба виявилась успішнішою, ніж теорія Друде, за її допомогою вже можна було пояснити, наприклад, температурну залежність електронної теплоємності. Хорошу провідність одних і погану провідність інших металів.

Н.Е.3. 1.-Н.Е.3.2. Лекція № 6.

Тема. Властивості і будова атомних ядер. Природне перетворення ядер.

План

1. Заряд і маса атомних ядер.

2. Енергія зв’язку ядра. Дефект маси.

3. Спін і магнітний момент ядер.

4. Ядерні сили та їх характеристика.

5. Моделі ядра. Краплинна та оболонкова моделі.

6. Природна радіоактивність. Радіоактивне випромінювання.

7. Закон радіоактивного розпаду. Правила зміщення.

Самостійна робота.

1. Закономірності радіоактивного розпаду.

2. Гаммапромені.

3. Ефект Месбауера та його застосування на практиці.

1. Досліди Резерфорда Ернеста. Будова атома. Модель атома Резерфорда. Розмір ядра ~ 10^-15 м; заряд – додатний; маса атома зосереджена в ядрі. Будова ядра – складається з протонів і нейтронів, які називають нуклонами. Головна відмінність між нуклонами – заряд - + 1,6*10^-19Кл;

¹n - 0 Кл.

Е=mc²=>

Перші моделі атомного ядра

після відкриття Дж. Чедвіком нейтронів.

Складні ядра називають «нуклідами». Терміни «нуклід» і «ядро» еквівалентні. Кількість протонів у ядрі визначає заряд ядра Z, і збігається з порядковим номером елемента у таблиці Мендєлєєва Z. Заряд ядра Q_я = Ze; Z – зарядове число. (Нині відомі ядра із Z=1 до Z=109). Z+N=A – масове число N – ( ) нейтронів у ядрі => N=A-Z.

1а) Для позначення ядер - ; Х – символ хімічного елемента;

А – масове число;

Z – зарядове число.

Якщо - ізотопи. Наприклад: – протій; – дейтерій; – тритій. Нині відомо ~ 300 стійких ізотопів хімічних елементів і > 2000 радіоактивних ізотопів.

Якщо ; – ізобари; ;

Якщо кількість нейтронів однакова – ізотони тобто N₁=N₂=N₃;

A₁-Z₁= A₂-Z₂= A₃-Z₃; ; ; .

Розмір ядра характеризується радіусом ядра . Він трохи умовний. Розміри ядра розмиті. Метод вимірювання радіуса ядра базується на явищі дифракції на ядрах , високих енергій.

Досліди показали, що радіус ядра – можна записати як:

R=R₀A^1/3, де (R₀≈1,3÷1,7*10^–15м)

Середня густина ядерної рідини:

ρ= = = = ≈10¹⁷(кг/м³).

2. Енергія зв’язку. Ядра – є стійкими утвореннями. Отже між нуклідами існує певна взаємодія притягання, яка забезпечує стійкість, не зважаючи на відштовхування між протонами.

Мас - спекромометри дозволяють досить точно визначити масу ядер, розділяючи за допомогою електричних та магнітних полів пучки заряджених часток з різними питомими зарядами .

Мас-спектрометричні дослідження показали, що m_я < _m нукл.

Е= mc²; Е_я < Е нуклонів; Е_я < Е - Е нукл. = - Е зв., або

Е_я + Е_зв = Е нукл.=> Е_зв= Е нукл. - Е_я => (Z_mp+(A-Z)_mn- M_я)*с²

= Δm*с²=> Δm – дефект маси.

Питома енергія зв’язку . Е_m/m= характеризує стійкість атомних ядер.

E _пит Для < A< Е_пит – досягає мах.

8,7 МеВ/нукл.

А

28 138

Ці ядра – найстійкіші. При наростанні кількості нуклонів у ядрі > 138 питома енергія зв’язку починає спадати. Це зменшення пояснюється тим, що зростання кількості протонів веде до росту енергії відштовхування між ними.

3. Спін і магнітний момент ядра.

L_s = ћ – власний момент імпульсу ядра, S= – спін нуклона.

Тоді власний момент імпульсу ядра = ћ = ћ.

Крім власного моменту імпульсу, ядро має і орбітальний момент імпульсу руху нуклонів навколо спільного центра мас ядра. Тоді повний момент імпульсу ядра = векторній сумі власного і орбітального моменту імпульсу

L = ћ I – спінове ядерне квантове число, І=0; ;

Ядра з парним А мають цілочисельний спін; непарним - вимірюється у одиницях (ћ); І ≤ - для більшості ядер.

Із електродинаміки відомо, що магнітний момент зарядженої частки

Р_m = j* L_s => P_mя = g_я* L ; j*ћ = = м_бg_я*ћ= = м_я

Зрозуміло, що = 1836,5, тому = .

Розміри і форма ядра. Дослідження розсіювання на ядрах показали, що на великих відстанях притягання ядер кулонівське. Але чим ближче до ядра, тим більше кулонівські сили замінюється на специфічні сили притягання, які швидко зростають.  - частки відштовхуються від ядра за законом Кулона, але при зменшенні відстані до ядра кулонівські сили слабнуть. Їх практично немає вже на відстанях r₀~ 10^-15м. Цей радіус дії ядерних сил і визначає радіус ядра. Радіус ядра R_я= r₀ , де r₀-1,3-1,5*10^-15м, А- масове число. Отже середня густина ядерної речовини 1,3*10¹⁷кг/м³. Дослідження показують, що у ядер сферично-симетрична форма, але не всі ядра є сферично – симетричними, але всі ядра мають осьову симетрію (тобто можуть бути еліпсоїдами обертання).

Спін і магнітний момент ядра. У 1928 році при дослідженні оптичних спектрів Na було виявлено, що його дублет D₁ D₂ має дублетну структуру D₁(589нм.) складається з двох ліній і D₂(589,6нм.) з двох.

D₁

I₁

I₂

L₁ =ћ

Таке розчеплення – називається надтонкою структурою спектральних ліній.

Паулі висунув гіпотезу, що це є наслідком існування спінів у ядра. Спін ядра - це його повний момент кількості руху ядра, який складається з моменту імпульсу його часток та їх орбітальних механічних моментів. Всі ядра з парним А мають цілий або О спін, а ядра з непарним А – ½ цілий спін.

Крім спіну, у ядер існує магнітний момент (µ_я= ), який виражається в ядерних магнетонах. Спіни ядер утворюються так, що спіни часток, з яких складається ядро, компенсують один одного. Бо спін ядра = Z ≠ .

Склад ядра. До 1932 року вважали, що ядро складається з протонів і електронів ; Х – має А- протонів; А-Z – електронів, які компенсують заряд.

Ве 9 протонів + 5 електронів = + 4, S_Be = ћ; + ћ = 7ћ. Крім того, µ_я повинні бути > µ_б >> µ_я. Після 1932 року, коли відкрили нейтрон Іваненко і Гейзенберг запропонували p-n модель ядра (або нуклону)