Лопатка турбины неохлаждаемая

Исходные данные:

материал лопатки ЭИ-437 б — (σ_в/100 = 420 МПа при 1000 К, ρ = 8,2.10³ кг/м³);

частота вращения — n = 8500 мин^-1 (ω = 890,1 1/с);

радиус корневого сечения — R_о = 0,28 м;

радиус концевого сечения — R₅ = 0,38 м;

секундный расход газа — G_г = 120 кг/с;

число лопаток — z = 80;

давление газа на входе — p₁ = 0,3 МПа;

давление газа на выходе — р₂ = 0,226 МПа;

составляющие скорости на входе — С_1а = 245м/с, С_1и = 280м/с;

составляющие скорости на выходе — С_2а =190 м/с, С_2и = 25 м/с;

заторможенная температура газа на среднем радиусе — Т*_г.ср = 1000 К;

время работы на максимальном режиме — τ = 100 ч.

Последовательность выполнения расчета

1. Разбиваем лопатку по длине шестью сечениями (i = 0...5) на пять равных частей (рис. 1, а). Нулевое сечение совмещаем с корневым, а пятое — с периферийным сечением лопатки.

Параметры профиля лопатки (рис. 2) по шести сечениям сведены в табл. 1.

Таблица 1

Параметры профиля	Радиус сечения, м
	0,28	0,30	0,32	0,34	0,36	0,38
b·103, м	36	35,6	35,2	34,8	34,4	34,0
δ·103, м	5,0	4,6	4,2	3,8	3,4	3,0
h·103, м	6,0	6,6	5,2	4,8	4,4	4,0
β, град	15	18	21	24	27	30

b – хорда профиля,

δ – толщина профиля,

h – прогиб профиля,

β – угол между осью вращения турбомашин и осью минимальной жесткости .

Рис. 1. Расчётная схема.

Ось минимальной жесткости сечения ξ направлена практически параллельно хорде, ось максимальной жесткости η - перпендикулярна ей. Положительное направление оси ξ - от входной кромки к выходной, оси η - от корыта на спинку лопатки.

Рис. 2. Геометрические характеристики профиля лопатки.

Температурный градиент по длине лопатки учитываем, приравнивая температуру лопатки на среднем радиусе затормо­женной температуре газа Т*г.ср и понижая ее значения в концевом сечении на 20...40 °С, а в корневом — на 40...80 °С. Распределение температур по длине лопатки показано на рисунке 1,б. В промежу­точных сечениях температура лопатки определяется как среднее арифметическое ее значений на границах участка. При расчетах пустотелых лопаток, имеющих внутреннее воздушное охлаждение, их температура в зависимости от расхода охлаждаю­щего воздуха, выбранной схемы охлаждения и температуры газа перед турбиной обычно принимается на 80...400 °С ниже, чем у неохлаждаемой лопатки.

2. Определяем для каждого расчетного се­чения следующие геометрические характеристики:

а) площадь сечения F = 0,7 bδ;

б) координаты центров масс сечения b_ц = 0,43b; h_ц = 0,76h.

Полу­ченные значения F, b_ц, h_ц заносим в таблицу 2.

Таблица 2

Параметры профиля	Номер сечения
	0	1	2	3	4	5
R, м	0,28	0,30	0,32	0,34	0,36	0,38
F•104, м	1,260	1,140	1,030	0,926	0,819	0,714
bц·103, м	15,5	15,3	15,1	15,0	14,8	14,6
hц·103, м	4,56	4,26	3,95	3,65	3,34	3,04
ηA, м	0,005	0,0046	0,0042	0,0038	0,0034	0,003
ηC, м	0,005	0,0046	0,0042	0,0038	0,0034	0,003
ηB, м	—0,004	—0,0038	—0,0036	—0,0034	—0,0032	—0,003
ξА, м	—0,015	—0,0148	—0,0146	—0,0144	—0,0142	—0.014
ξC, м	0,02	0,02	0,02	0,02	0,02	0,02
Jη •109, м4	0,439	0,344	0,264	0,198	0,145	0,102
Jξ •108, м4	0,879	0,782	0,691	0,604	0,522	0,445

3. Из центра масс каждого расчетного сечения (рис. 2) про­водим главные центральные оси инерции: ось ξ параллельно хорде лопатки, ось η — перпендикулярно к ней. Измеряя расстояние до наиболее удаленных точек А, С и В от осей η и ξ, заносим их значения в таблицу 2.

4. Определяем главные центральные моменты инерции J_η и J_ξ для каждого сечения:

.

Заносим полученные значения в таблицу 2.

5. Находим центробежные силы, действующие в сечениях i = 4, 3, 2, 1, 0, и соответствующие им напряжения от растяжения:

(1)

(2)

где - отношение площади сечения на расчетном радиусе R_i к площади концевого сечения на радиусе F₅;

А — постоян­ный множитель,

.

Результаты вычислений по формулам (1) и (2) заносим в таблицу 3.

Таблица 3

i	Ri, м	R25 – R2i , м2	Fi 10 4, м2	k		Рji.10-3, H	σpi, МПа
4	0,36	0,0148	0,819	1,147	0,936	3,687	45,02
3	0,34	0,0288	0,926	1,297	0,885	7,669	82,84
2	0,32	0,0420	1,030	1,442	0,847	11,908	115,61
1	0,30	0,0544	1,140	1,597	0,813	16,266	142,68
0	0,28	0,066	1,260	1,765	0,783	21,162	167,95

По приведенным в таблице 3 результатам строим график σ_р=f(R) (рис. 3).

Рис. 3. График распределения напряжений растяжения от действия центробежной силы по длине пера лопатки.

6. Полагая интенсивность газовой нагрузки неизменной по дли­не лопатки, находим ее осредненное значение в окружном направ­лении и:

.

В эту формулу окружные со­ставляющие скорости газа С_1и и С_2и подставляем по абсолютным величинам:

.

7. Находим осредненную ин­тенсивность газовой нагрузки в осевом направлении х:

.

В полученную формулу осевые составляющие скорости газа С_1a и С_2а подставляем по абсолютным величинам:

.

8. Правильность полученных для Р_u и Р_а знаков сверяем по рисунку 4. Для лопаток турбины осевая нагрузка Р_а положительна, т. к. ее направление совпадает с направлением оси х. Окружная нагрузка Р_u направлена в сторону, обратную направлению оси у и имеет знак «—».

Рис. 4

Рис. 5

9. Заполняя таблицу 4, находим значения изгибающих момен­тов М_рх и М_ру от действия газовой нагрузки Р_u и Р_а относительно осей х и у.

10. Сверяем по рисунку 4 правильность полученных в таблице 4 знаков для моментов М_рх и М_ру. Для лопаток турбины изгибающие моменты от газовой нагрузки в случае правого вращения ро­тора должны иметь знак «+».

Таблица 4

i	R, м	R5 – Ri , м	(R5 – Ri)2 , м	Нм	Нм
5	0,38	0	0	0	0
4	0,36	0,02	0,0004	0,765	0,549
3	0,34	0,04	0,0016	3,060	2,194
2	0,32	0,06	0,0036	6,885	4,937
1	0,3	0,08	0,0064	12,24	8,777
0	0,28	0,1	0,01	19,125	13,715

11. Проецируем (рис. 5) векторы моментов от газовой нагруз­ки на направление осей η и ξ. Для этого в расчетные формулы (3) и (4) подставляем значения моментов М_рх и М_ру со своими знаками:

М_pη = М_рy cosβ – М_рх sinβ ; (3)

М_pξ = М_рy sinβ + М_рх cosβ. (4)

Таблица 5

i	β, град	Мрy cosβ	Мрх sinβ	Мрy sinβ	Мрх cosβ	Мpη	Мpξ
		Нм
4	27	0,489	0,347	0,249	0,682	0,132	0,931
3	24	2,004	1,245	0,892	2,795	0,759	3,687
2	21	4,609	2,467	1,769	6,428	2,142	8,197
1	18	8,347	3,782	2,712	11,641	4,565	14,353
0	15	13,247	4,949	3,549	18,474	8,298	22,023

Результаты расчета по формулам (3) и (4) заносим в таблицу 5.

12. Коэффициенты разгрузки корневого сечения лопатки в ок­ружном и осевом направлениях принимаем равными γ_х= 0,6 и γ_у=0,6. В дальнейшем варьируя величинами коэффициентов разгрузки γ_х и γ_у, добиваемся минимального значения напряжений, судя по величинам σ_и и σ_Σ в характерных точках (А, С и В) опасного сечения (см. таблицу 14) с учетом концентраторов напряжений.

13. Для реализации принятых в п. 12 значений γ_х и γ_у по фор­мулам (5) и (6) определяем координаты положения конца ли­нии выноса центров масс с направления радиуса в пятом сечении:

; (5)

; (6)

Вычисление x₅ и y₅ производим при заполнении таблицы 6. Под­ставив из таблицы 6 полученные значения сумм в формулы (5) и (6), получим

;

.

Таблица 6

i	Fi.104, м2	Fi-1.104, м2	(Fi - Fi-1).104, м2	Ri, м	Ri-1, м	Ri - Ri-1, м	R2i – R2i-1, м2	Ri+Ri-1 -2R0, м	[4]x[8]x[9]·106, м5	[4]x[7]x[9]·106, м5
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
5	0,714	0,819	1,533	0,39	0,36	0,02	0,0148	0,18	0,408	0,552
4	0,819	0,926	1,745	0,36	0,34	0,02	0,014	0,14	0,342	0,489
3	0,926	1,030	1,956	0,34	0,32	0,02	0,0132	0,10	0,258	0,391
2	1,030	1,140	2,17	0,32	0,30	0,02	0,0124	0,06	0,161	0,2604
1	1,140	1,260	2,4	0,30	0,28	0,02	0,0116	0,02	0,056	0,096
									1,225.10-6	1,788.10-6

14. По формулам (7) и (8) определяем координаты выноса линии центров масс промежуточных сечений с направления ра­диуса:

; (7)

. (8)

Результаты определения координат x_i и y_i сводятся в таблицу 7.

Таблица 7

i	Ri,, м	Ri – R0 , м	R5 – R0 , м		xi.10-4, м	yi.10-4, м
5	0,38	0,1	0,1	1	8,268	-14,112
4	0,36	0,08	0,1	0,8	6,614	-11,289
3	0,34	0,06	0,1	0,6	4,961	-8,467
2	0,32	0,04	0,1	0,4	3,307	-5,645
1	0,30	0,02	0,1	0,2	1,653	-2,822
0	0,28	0	0,1	0	0	0

15. Определяем (рис. 6, а) компенсирующие моменты, дейст­вующие в плоскости R0х:

М_jy(i-1) = М_jyi + ΔМ₁ + ΔМ2 (I = 1 ... 5). (9)

Здесь

М_jyi — изгибающий момент в i-м сечении лопатки;

ΔМ₁ — приращение изгибающего момента в сечении i—1 от центробеж­ной силы, приложенной в центре масс i-го сечения пера;

ΔМ₂ — приращение изгибающего момента в сечении i—1 от центробежной силы ΔР_j элементарной массы, находящейся между сечения­ми i и i—1:

;

.

Подставляя в (9) значения ΔМ₁ и ΔМ₂, получаем расчетное уравнение, решение которого представлено в таблице 8:

. (10)

Таблица 8

i	Mjyi Нм	Prji.10-3 Н	(xi-xi-1).104, м	ΔM1 Нм	(Fi+Fi-1)104 м2	R2i – R2i-1 м2	[6]х[7]х[4] х108,, м5	ΔM=-ρω2/8х[8] Нм	Mjy(i-1) Нм
5	0	0	1,654	0	1,533	0,0148	0,0370	-0,300	-0,300
4	-0,300	3,687	1,654	-0,609	1,745	0,0140	0,0404	-0,329	-1,138
3	-0,954	8,537	1,654	-1,412	1,956	0,0132	0,0430	-0,349	-2,999
2	-2,319	11,908	1,654	-1,969	2,170	0,0124	0,0445	-0,361	-5,329
1	-4,120	16,266	1,654	-2,688	2,400	0,0116	0,046	-0,373	-8,355

16. Определяем окружную составляющую центробежной силы, действующей в плоскости R0у (рис. 6, б):

P_jy(i-1) = P_jyi + ΔPjy (i = 1 . . . 5). (11)

Здесь

Р_jyi — окружная составляющая от центробежной си­лы Р_jy, приложенной в центре масс i-го сечения пера;

ΔP_jy — ок­ружная составляющая от центробежной силы ΔР_j элементарной массы, расположенной между сечениями i и i—1.

. (11*)

Результаты вычислений по формуле (11) сведены в табл. 9.

Таблица 9

i	Pjyi Н	(Fi+Fi-1)104 м2	(yi+yi-1).104, м	Ri – Ri-1 м	ΔPjy. Н	Pjy(i-1). Н
5	0	1,533	-25,401	0,02	-12,649	-12,649
4	-12,649	1,745	-19,756	0,02	-11,198	-23,847
3	-23,847	1,956	-14,112	0,02	-8,966	-32,813
2	-32,813	2,17	-8,467	0,02	-5,968	-38,781
1	-38,781	2,4	-2,822	0,02	-2,2	-40,981

17. Определяем компенсирующие моменты, действующие в плоскости R0у:

М_jx(i-1) = M_jxi + ΔМ₁ + ΔМ₂ + ΔМ₃ . (4.12)

Здесь

M_jxi — изгибающий момент в i-м сечении лопатки относи­тельно оси x;

ΔМ₁ — приращение изгибающего момента в сечении i—1 от центробежной силы Р_ji, приложенной в центре масс i-го сечения пера;

ΔМ₂ — приращение изгибающего момента в сечении i—1 от центробежной силы ΔР_j элементарной массы, находящейся между сечениями i и i—1;

ΔМ₃ — изгибающий момент, возникаю­щий в сечении i—1 от окружной составляющей P_jyi центробежной силы:

;

;

.

Подставляя в (4.12) значения ΔМ₁, ΔМ2 и ΔМ₃, получаем расчет­ное уравнение

,

(4.12*)

решение которого представлено в табл. 4.10.

Таблица 4.10

i	Mjxi Нм	Pji.10-3 Н	(yi-yi-1) .104, м	ΔM1 Нм	(Fi+Fi-1) 104 м2	Ri – Ri-1 м	(Ri-1.yi – Ri .yi-1).104 м	ΔM2 Нм	Pjyi Н	ΔM3 Нм	Mjx(i-1) Нм
5	0	0	-2,822	0	1,533	0,02	-0,79	-0,393	0	0	-0,393
4	-0,393	3,687	-2,822	-1,0405	1,745	0,02	-0,79	-0,448	-12,649	0,253	-1,6285
3	-1,628	8,537	-2,822	-2,404	1,956	0,02	-0,79	-0,502	-23,847	0,477	-4,063
2	-4,063	11,90	-2,822	-3,362	2,17	0,02	-0,79	-0,557	-32,813	0,656	-7,325
1	-7,325	16,26	-2,822	-4,59	2,4	0,02	-0,79	-0,616	-38,781	0,776	-11,755

18. Пользуясь данными табл. 4.8 и 4.10, сверяем правильность полученных знаков для моментов М_jу и М_jх. С учетом того, что эти моменты должны компенсировать действия полученных ранее (см. табл. 4.4) моментов М_ру и М_рх от газовой нагрузки, направ­ления их действия должны быть взаимно противоположными. Так как полученные ранее моменты М_рх и М_ру имеют положительное направление, компенсирую­щие их моменты М_jх и М_jу должны быть отрицатель­ными.

1 9. Определяем фактиче­ские значения коэффициен­тов компенсации для корне­вого сечения:

.

Отклонение полученных значений γ_фх и γ_фу от ранее принятых в п. 12 γ_х и γ_у не превышает 1,6%. Эта величина погрешности округления чисел участвующих в выше приведенных расчетах говорит также о том, что правильно определены направления действия («+» или «-») компенсирующих моментов.

20. Проецируем (рис. 4.7) векторы моментов М_jу и М_jх на на­правление главных центральных осей инерции η и ξ. Для этого в расчетные формулы (4.13) и (4.14) подставляем их значения по абсолютной величине:

М_jη = — М_jу cosβ + М_jх sinβ ; (4.13)

М_jξ = — М_jу sinβ — М_jx cosβ . (4.14)

С учетом того, что полученные по этим формулам моменты долж­ны компенсировать действие положительных моментов от газовой нагрузки (см. табл. 4.5), знаки этих моментов должны быть об­ратными по отношению к знакам моментов М_рη, и М_рξ, т. е. от­рицательными. Результаты расчета М_jη и М_jξ сводим в табл. 4.11.

Таблица 4.11

i	β град	Мjу cosβ Нм	Мjх sinβ Нм	Мjу sinβ Нм	Мjx cosβ Нм	Мjη Нм	Мjξ Нм
4 3 2 1 0	27 24 21 18 15	0,267 1,131 2,799 5,068 8,07	0,178 0,662 1,456 2,264 3,042	0,136 0,503 1,075 1,647 2,162	0,35 1,488 3,793 6,966 11,354	—0,089 —0,469 —1,343 —2,804 —5,028	—0,486 —1,991 —4,868 —8,613 —13,516

Таблица 4.12

i	Мpη Нм	Мpξ Нм	Мjη Нм	Мjξ Нм	МΣη=Мpη+Мjη Нм	МΣξ=Мpξ+Мjξ Нм
4	0,132	0,931	—0,089	—0,486	0,043	0,445
3	0,759	3,687	—0,469	—1,991	0,29	1,696
2	2,142	8,197	—1,343	—4,868	0,799	3,329
1	4,565	14,353	—2,804	—8,613	1,761	5,74
0	8,298	22,023	—5,028	—13,516	3,27	8,507

21. Для определения результирующих изгибающих моментов, действующих в сечениях i = 4, 3, 2, 1, 0 относительно осей η и ξ, просуммируем инерционные и газовые моменты. Результаты расче­та М_Ση и М_Σξ сводим в табл. 4.12.

22. В соответствии с полученными в табл. 4.12 значениями результирующих моментов М_Ση и М_Σξ откладываемых векторы по осям η и ξ (рис. 4.8). Учитывая направления действия этих мо­ментов, имеем, например, для корневого сечения:

в точке А — ра­стяжение от М_Ση и М_Σξ;

в точке С — растяжение М_Σξ и сжатие от М_Ση;

в точке В — сжатие от М_Σξ.

23. С учетом указанного в п. 22 влияния моментов М_Ση и М_Σξ на характер вызываемой ими деформации отыскиваем по формулам (4.15) — (4.17) напряжения в точках А, С и В, наиболее удаленных от осей η и ξ.

; (4.15)

; (4.16)

. (4.17)

Рис. 4.8

После подстановки в эти формулы значений изгибающих мо­ментов, моментов инерции и координат точек со своими знаками получаем значения напряжений для расчетных сечений i = 4, 3, 2, 1, 0, сведенные в табл. 4.13. Из таблицы следует, что при изгибе в точках А и С действуют напряжения растяжения, а в точке В — сжатия. Результирующие напряжения в этих точках опреде­ляются с учетом напряжений от растяжения, действующих в ра­счетных сечениях от центробежных нагрузок.

Таблица 1.13

i	МΣη Нм	МΣξ Нм	Jη.107 М4	Jξ.107 М4	σAи МПа	σСи МПа	σВи МПа
4	0,043	0,445	0,522	0,145	10,551	—9,821	10,269
3	0,29	1,696	0,604	0,198	33,241	—29,123	31,589
2	0,799	3,329	0,691	0,264	54,649	—45,395	50,649
1	1,761	5,74	0,782	0,344	80,089	—63,407	72,252
0	3,27	8,507	0,879	0,439	102,471	—77,512	89,45

24. Суммируем (рис. 4.9) по каждому сечению для точек А, С и В напряжения от изгиба с напряжениями от центробежных сил и заносим полученные результаты в табл. 4.14.

25. Согласно табл. 4.14 наибольшие напряжения возникают в точке А корневого сечения лопатки, для которой σ_Σmax = 270,421 МПа. Принимая во внимание, что температура в этом се­чении лопатки (см. рис. 4.1, б)

Т₀ = Т^*_г.ср — 40 = 1000 — 40 = 960 К,

а также то, что заданное время работы двигателя на максималь­ной нагрузке не превышает 100 ч (регламентированный ресурсом суммарный взлетный режим двигателя авиационного назначения),

Рис. 4.9

Таблица 4.14

i	Характерные точки профиля	Изгибные напряжения σи , МПа	Растягивающие напряжения σр , МПа	Суммарные напряжения σΣ , МПа
4	А С В	10,551 10,269 —9,821	45,018 45,018 45,018	55,569 55,287 35,197
3	А С В	33,241 31,589 —29,123	82,840 82,840 82,840	116,081 114,424 53,717
2	А С В	54,649 50,649 —45,395	115,612 115,612 115,612	170,261 166,261 70,217
1	А С В	80,089 72,252 —63,407	142,684 142,684 142,684	222,773 214,936 79,277
0	А С В	102,471 89,45 —77,512	167,95 167,95 167,95	270,621 257,4 90,438

определяем запас прочности при σ_в/100 = 420 МПа:

Это значение несколько ниже минимального запаса прочности (К_σmin=2...2,5), рекомендуемого для литых и штампованных ло­паток турбины.

Для получения приемлемого К_σ в данном случае следует вы­брать более жаропрочный материал. Например для ВЖЛ-8, име­ющего σ_в/100 = 600 МПа при Т = 1000 К, обеспечивается К_σ = 2,21.