Упражнения с решениями

Пример 1. Вычислить пять первых членов последовательности .

Решение. Подставив вместо последовательно 1, 2, 3, 4, 5, получим , , , , .

Пример 2. Написать общий член последовательности натуральных чисел, каждое из которых при делении на 3 дает остаток, равный 1.

Решение. Для того, чтобы число при делении на 3 давало остаток 1, оно должно иметь вид ; следовательно, общий член последовательности .

Задания к практической работе

Задание 1. Вычислите пять первых членов последовательностей:

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. 

10. .

Задание 2. Напишите общий член последовательности натуральных чисел, каждое из которых при делении на 5 дает остаток, равный 3.

Задание 3. Напишите общий член последовательности:

,

1, 7, 13, 19, …,

2, 4, 8, 16, 32, …,

1, 7, 17, 31, ….

Задание 3. Даны последовательности:

;

;

;

.

Докажите, что последовательности 1) и 2) – возрастающие, а 3) и 4) - убывающие.

Задание 4. Найти пятнадцатый член и сумму пятнадцати членов прогрессии 2, 5, 8, ….

Задание 5. Числа -100 и -78 являются соответственно седьмым и девятым членами арифметической прогрессии. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии и суму ее первых пятнадцати членов.

Задание 6. Докажите, что если числа образуют арифметическую прогрессию, то верно равенство .

Задание 7. Сумма первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 14, а произведение второго ее члена на четвертый равно 45. Сколько членов прогрессии надо взять, чтобы в сумме получить 24?

Задание 8. Найдите сумму восьми первых членов прогрессии .

Задание 9. Три числа, сумма которых равна 114, можно рассматривать как три последовательных члена геометрической прогрессии или как 1, 4, 25-й члены арифметической прогрессии.

Задание 10. Числа, выражающие длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда, образуют геометрическую прогрессию, объем параллелепипеда равен 216 м3, а диагональ м. Найдите измерения параллелепипеда.

Задание 11. Четыре числа составляют геометрическую прогрессию. Если из первого числа вычесть 11, из второго 1, из третьего 3, а из четвертого 9, то получится арифметическая прогрессия. Найдите эти числа.

Контрольные вопросы

1. Что называется числовой последовательностью?

2. Назовите способы задания числовых последовательностей. Приведите примеры.

3. Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Перечислите ее основные свойства.

4. Какая последовательность называется геометрической прогрессией? Перечислите ее основные свойства.

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3, 1.4

Практическая работа №30

Тема: Понятие о пределе последовательности, существование предела монотонной ограниченной последовательности

Цель: формирование навыков решения задач на нахождение пределов числовых последовательностей

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 4 часа