Упражнения с решениями

Пример 1. Доказать, что геометрическая прогрессия, заданная формулой n-го члена , является бесконечно убывающей.

Решение. По условию , откуда . Так как , то данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

Пример 2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии .

Решение. Так как , , то , и по формуле получим .

Задания к практической работе

Задание 1. Является ли геометрической прогрессией последователь­ность, заданная формулой п-го члена:

1. ;

2. .

Задание 2. В геометрической прогрессии найти сумму ее первых пяти членов, если:

1. ;

2. .

Задание 3. Доказать, что геометрическая прогрессия является беско­нечно убывающей:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 4. Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 5. Вычислить:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 6. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 7. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической про­грессии:

1. ;

2. 

Задание 8. Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой п-го члена:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 9. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если :

1. ;

2. .

Задание 10. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 30. Найти:

1. , если ;

2. , если .

Задание 11. Вычислить:

1. ;

2. ;

3. .

Задание 12. На куб со стороной поставили куб со стороной , на него куб со стороной , затем куб со стороной и т.д. (рис.2) Найти высоту получившейся фигуры.

Рис. 2

Контрольные вопросы

1. Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

2. Что называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии?

3. Назовите формулу вычисления суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Рекомендуема литература: 1.1, 1.3, 2.1

Практическая работа №32

Тема: Понятие о непрерывности функции

Цель: формирование навыков нахождения предела функции

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 4 часа

Теоретический материал

Число называется пределом функции при , стремящемся к , если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что при всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство . При этом употребляют запись .

Теорема. Если функция имеет предел при , то этот предел единственный.

Теоремы о пределе суммы, произведения и частного.

Если при существуют пределы функций и , то:

1. ;

2. ;

3. , где ;

4. , где - постоянный множитель

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и если предел функции при равен значению функции в этой точке, т. е. .

Функция , непрерывная в каждой точке заданного промежутка, называется непрерывной на всем промежутке.

Если функция, определенная в некоторой окрестности точки , в точке не определена или ее предел в точке не равен значению функции в этой точке, то говорят, что функция имеет разрыв в точке , а точку называют точкой разрыва.