Контрольные вопросы

1. Какая плоскость называется касательной к шару?

2. Докажите, что касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

3. Какая прямая называется касательной к шару?

Рекомендуемая литература: 1.2, 2.2

Практическая работа №54

Тема: Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра

Цель: формирование навыков решения задач на вычисление объемов куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 2 часа

Теоретический материал

Теорема 9. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

Следствие 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Следствие 2. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

Теорема 10. Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Теорема 11. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Упражнения с решениями

Пример 1. В прямом параллелепипеде стороны основания a и b образуют угол . Боковая поверхность равна S. Найдите его объем.

Решение. Обозначим высоту через х (рис. 15). Тогда .

Отсюда .

Площадь основания параллелепипеда равна . Объем равен .

Рисунок 15

Пример 2. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите объем призмы, если площадь сечения Q, а боковые ребра равны l.

Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис. 16). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а высота равна l. Эта призма имеет тот же объем. Таким образом, объем исходной призмы равен Ql.

Рисунок 16

Задания к практической работе

Задание 1. Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см³. Чему равно ребро куба?

Задание 2. В прямом параллелепипеде стороны основания см и 5 см образуют угол . Меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Найдите его объем.

Задание 3. Основание прямого параллелепипеда – ромб, площадь которого 1 м². Площади диагональных сечений 3 м² и 6 м². Найдите объем параллелепипеда.

Задание 4. В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения 4 м², а расстояние между двумя противоположными боковыми гранями 2 м. Найдите объем призмы.

Задание 5. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите объем призмы, если площадь сечения Q, а боковые ребра равны l (рис. 17).

Рисунок 17

Задание 6. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объемов цилиндров.

Задание 7. Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см³) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса 25 м этой трубы?