§ 5. Численные методы решения трансцендентных уравнений

1. Введение

Решение многих практических задач сводится к решению уравнений f(x)=0 (5.1)

где функция f(x) определена и непрерывна на некотором интервале. Если функция f(x) представляет собой многочлен, то уравнение (5.1) называется алгебраическим; если же в функцию f(x) входят трансцендентные (тригонометрические, логарифмические, показательные и т.д.) функции, то уравнение (5.1) называется трансцендентным.

Алгебраические уравнения, которые рассматриваются в школе, решаются или аналитически (с помощью формул для уравнений не выше 4 степени), либо графически. Для решения алгебраических уравнений любой степени, трансцендентных уравнений разработаны численные методы. Решение уравнения (5.1) разбивается на 2 этапа:

1. отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен один и только один корень уравнения;

2. вычисление выделенного корня с заданной точностью.

Для вычисления выделенного (изолированного) корня существует множество методов: метод половинного деления, метод итераций, метод Ньютона и т.д.

Пример 1.

Решить уравнение: cos x = 2x

Из рис. 5.1 видно, что наше уравнение имеет единственный корень, принадлежащий отрезку [0; 1]. Когда мы находим отрезок, внутри которого расположен корень, то этот этап решения называется этапом отделения корня.

Рис. 5.1

Теорема

Е

Рис 5.2

сли непрерывная функция f(x) на отрезке [a, b] строго монотонна и имеет на концах отрезка разные знаки, то на этом отрезке существует и причем единственный корень уравнения f(x)=0.

Д ействительно, функция f(x)=2x-cos x в точках x=0 и x=1 имеет разные знаки и возрастает на отрезке [0, 1]: f(0)=(20 - cos 0)=0-1=-1 <0; f(1)=(21 - cos 1)2-(0,5) 1,5 >0

Действительно, если f(a)<0 f(b)>0 (или наоборот), то непрерывная функция f(x) обязательно хотя бы 1 раз пересекает ось абсцисс (а иногда несколько раз, рис. 5.3).

О

Рис 5.3

тделение корней осуществляют либо графически, либо на основании вышеприведенной теоремы, либо сочетают оба этих способа.

Для уточнения корней используют несколько различных методов (метод деления отрезка пополам, метод хорд, метод касательных). Рассмотрим метод деления отрезка пополам.

2. Метод половинного деления

Р азделим отрезок [a; b] пополам (рис. 5.4) и положим x₀=(a+b)/2. Из двух полученных отрезков [a, x₀] и [x₀, b] выбираем тот, на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки. Полученный отрезок снова делим пополам и приводим те же рассуждения. Процесс продолжаем до тех пор, пока длина отрезка, на концах которого функция имеет противоположные знаки, не будет меньше заданного , любую точку отрезка можно с точностью  принять за корень уравнения f(x)=0.

Алгоритм отделения корней

Алгоритм уточнения корней

Рис 5.6

3. Практическая работа на эвм.

1. Составить программу отделения корней для функции F(x)=x²+1,7x+1,7 (блок-схема показана на рис 5.5).

{Программа 5.1}

program otdel; {Отделение корней}

var a,b,h,x1,x2,y1,y2:real; k:integer;

function f(x:real):real;

begin f:=x*x-1.7*x-1.7; end;

begin

readln(a,b,h); k:=0; x1:=a; x2:=x1+h; y1:=f(x1);

while x2<=b do begin

y2:=f(x2);

if y1*y2<0 then begin

k:=k+1;

writeln(k,'-ый корень на отрезке

[',x1:6:2,';',x2:6:2,']');

end;

x1:=x2; x2:=x1+h; y1:=y2;

end;

readln;

end.

2. Выполните этапы отделения корней для уравнений:

1) ; 2) ; 3)

3. Составить программу для нахождения корней по методу половинного деления для функции F(x)=x²+1,7x+1,7 (блок-схема показана на рис 5.6).

{Программа 5.2}

program polovina; {Половинное деление}

var a,b,e,x:real;

function f(x:real):real;

begin f:=x*x-1.7*x-1.7; end;

begin

readln(a,b,e);

repeat

x:=(a+b)/2;

if(x)*f(b)<0 then a:=x else b:=x;

until abs(a-b)<=e

writeln('корень:',x:6:2); readln;

end.

4. Найти корни с точностью до 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 для уравнения на интервале [0;1].

5. Отделите корни вручную для уравнения: