7. Лабораторная работа. Численное решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения y'=f(x, y) на отрезке [a, b] при заданном начальном условии y(a)=c и шаге интегрирования h.
Использовать метод Эйлера с шагом h и 2h.x
yh
y2h
yточное решение
…
…
…
…
Использовать метод Эйлера-Коши с шагом h и 2h.
Использовать метод Рунге-Кутта 4 порядка с шагом h и 2h.
Пояснения: составляется программа на ЭВМ, которая запускается дважды (для каждого метода) - для шага h и шага 2h (на одном и том же отрезке [a, b]). Результаты вычислений вносятся в одну таблицу. По вычисленной таблице функции строится точечный график и проводится плавная кривая.
Найдите точные значения функции на каждом шаге интегрирования и сформулируйте вывод о зависимости результата от шага и от метода интегрирования.
Варианты лабораторных работ см. Приложение 3.
§7 Решение задач линейного программирования
1. Введение
В период перехода к информационному обществу особенно актуально использование информационных технологий для решения задач оптимизации.
Решение этих задач может быть получено с помощью методов оптимального проектирования. Широкое применение на практике находят функции и режимы Excel, предназначенные для поиска решений задачи оптимизации.
2. Основные методы решения задач оптимизации
линейное и динамическое программирование (задачи распределения ресурсов);
теория массового обслуживания (задачи со случайным характером поступления и обслуживания заявок в системе);
имитационное моделирование (задачи, где реальный эксперимент заменяется имитационной моделью);
статистическое моделирование (задачи, в которых результат находится методами математической статистики из большого числа расчетов с различными факторами);
теория управляемых марковских процессов (задачи со случайными неконтролируемыми факторами);
теория игр (состязательные задачи в условиях неопределенности);
теория расписаний (задачи календарного упорядочения работ);
сетевое планирование и управление (задачи с неопределенной оценкой времени выполнения различных видов работ);
векторная оптимизация (многокритериальные задачи);
теория распознавания образов (задачи поиска) и другие методы.
С дальнейшим развитием производства вопросы оптимального распределения (решения) остаются, становятся более острыми.
Например: допустим, что при интуитивном распределении людей на работы, возможность их использования по сравнению с оптимальным вариантом, который получает компьютер, ухудшается всего на 3%. Это небольшая ошибка, которую и заметить можно далеко не всегда. Такая ошибка, скажем, в суконном цехе XV века с 40 работающими, привела бы к недоиспользованию 1 человека.
В наши дни, если принять, что в производстве занято примерно 50 млн. человек, такая ошибка аналогична снижению трудовых ресурсов на 1.5 млн. человек. Как избежать таких ошибок, поможет знание основных методов решения задач оптимизации.
3. Математическая постановка задачи оптимизации
Математическое моделирование
дает быстрый ответ на поставленный вопрос (в реальной обстановке решение требует годы);
предоставляет возможность широкого экспериментирования (осуществление на реальном объекте часто невозможно).
Правила для успешного математического моделирования:
Учитывать главные свойства моделируемого объекта.
Пренебрегать его второстепенными свойствами.
Уметь отделить главные свойства от второстепенных.
Пример математической модели
Задача. Спроектировать бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, объемом V= 2000 м3, так чтобы на его изготовление пошло как можно меньше материала.
Решение.
Объем бака можно вычислить по формуле: V=abh, (7.1) площадь S=2ab+2ah+2bh (7.2), где a,b,h- стороны бака.
Такую постановку можно записать:
(7.3),
что читается: минимизировать величину S при условии, что V=2000. Подставив в (7.3) значения V (7.1) и S (7.2), получим:
(7.4)
Добавим очевидное, что a, b, h>0, получим математическую модель:
(7.5)
где: ЦФ - целевая функция, ОГР – ограничения, ГРУ - граничные условия