10 Класс (решения)

Задача № 1. Пусть х – количество правильно решенных задач, у – количество неверно решенных задач. Тогда 8х-5у=13 8(х+у)=13(1+у). (1)

Из (1) следует, что (х+у) делится на 13.

Т.к. х+у≤20, то х+у=0 или х+у=13. Первый случай невозможен (иначе, например, у=-1 из (1)). Следовательно, х+у=13; тогда из (1) у=7, поэтому х=6.

Ответ: 6 – решил правильно; 7 – неверно.

Задача № 2.

О – центр окружности радиуса r, вписанной в угол А.

F – точка пересечения отрезков DO и BC.

Известно, что С другой стороны, т.к. DB=DC, то Следовательно, , и BD – биссектриса Таким образом, D – центр вписанной в треугольник ABC окружности, и DF – ее радиус.

Ответ: .

Задача № 3. Будем искать искомый трехчлен в виде Тогда и – число нечетное. , откуда – число четное. Следовательно, а – целое.

Замечания.

1. Можно показать, что

2. Задача будет иметь положительный ответ, если задать нечетным, не меняя остальных условий.

Ответ: да.

Задача № 4. Без нарушения общности можно считать, что числа расположены по возрастанию. Тогда,

Задача № 5. Пусть – количество n-значных чисел, состоящих только из цифр 2 или 5, у которых две двойки не стоят рядом. Разобьем множество таких чисел на два подмножества. К первому отнесем нечетные числа (они заканчиваются на 5), ко второму – четные (они заканчиваются на 52). Считаем, что n≥3. В первом подмножестве уберем последнюю цифру 5. Получим все возможные (n-1)-значные числа, удовлетворяющие условию. Их количество – . Во втором подмножестве уберем последние две цифры 52. Получим все возможные (n-2)-значные числа, удовлетворяющие условию. Их количество – . Таким образом, . Очевидно, . Тогда .

Ответ: 144.

Муниципальный этап 2009 - 2010 учебный год

10 Класс

1. При каких значениях а, в, с (в ≠ 0)сумма корней уравнения ах³ + вх² + сх = 0 равна - ?

2. Докажите, что при любом целом m число является целым.

3. Дан равносторонний ∆АВС. Точка М лежит внутри АСВ. АМС = 30°, ВМС = 20°. Найти АСМ.

4. Может ли последовательность из трех различных чисел быть одновременно и арифметической, и геометрической прогрессией?

5. В коробке лежит 2670 шариков. Из них 1000 красных, 1000 зеленых, остальные белые или черные. Какое наименьшее число шариков надо вынуть, чтобы наверняка вытащить 670 шариков одного цвета?

Указание: каждое задание оценивается в 7 баллов. Ответы, решения, указания.

10 Класс

1. ах³ + вх² + сх = 0 х(ах² + вх + с) = 0 . Если а = 0, то корень второго уравнения х = - , и сумма корней исходного уравнения равна - . Пусть

а ≠ 0 и второе уравнение совокупности имеет корни х₁ и х₂ , причем х₁ + х₂ = - . Тогда по теореме Виета их сумма равна - . Таким образом, - = - .

Тогда D = -3в² < 0, корней нет. Противоречие.

Ответ: при а = 0, в ≠ 0 и с R.

2. = . В числителе произведение 3-х последовательных целых чисел, значит одно из них обязательно делится на 2 и одно из них делится на 3, поэтому произведение делится на 6.

3 . 1) Точка М лежит на окружности с центром в точке В и радиусом АВ (по теореме о вписанном угле).

2) АС = 60°, так как АВС = 60°.

3) СК = 40°, так как СМВ = 20°.

4) АМ = КМ - СК - АС =

= 180°- 60° - 40° = 80°.

5) АСМ – вписанный и опирается на АМ АСМ = 40°.

Ответ: АСМ = 40°.

4. Предположим, что такая последовательность существует. Тогда она имеет вид:

а₁; а₁ + d = а₁q; а₁ + 2d = а₁q², где а₁ ≠ 0 (что следует из определений арифметической и геометрической прогрессии).

Решим систему откуда q = 1, d = 0, а₁ R . Получаем последовательность трех одинаковых чисел, что противоречит условию.

5. Докажем сначала, что вынув 2009 шариков, мы наверняка вытащим 670 шариков одного цвета. Пусть а – количество вынутых красных, в – зеленых, с – остальных, тогда а + в + с = 2009. Предположим от противного, что при этом нет 670 – ти шариков одного цвета, тогда а ≤ 669 и в ≤ 669, а + в + с ≤ 669 + 669 + 670 = 2008. Противоречие. Очевидно, что при меньшем количестве вынутых шариков всегда возможна ситуация, когда не будет 670-ти шариков одного цвета.

Ответ: 2009.