2010 - 2011 Учебный год муниципальный этап

ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ.

10 Класс

1. Произведем замену: х = + α, у = + β, z = + γ, тогда α + β + γ = 0.

х² + у² + z² = + α + α² + + β + β² + + γ + γ² = + (α + β + γ) + α² + β² + γ² = + 0 + α² + β² + γ² ≥ + 0 = .

2. sin⁴x + cos⁴x = (sin²x + cos²x)² - 2 sin²x cos²x = 1 - sin² 2х.

Пусть t = sin2х -1 ≤ t ≤ 1. Тогда неравенство примет вид

1 - t² > t , т. е. t² + at – 2 < 0.

Задача эквивалентна следующей: при каких a последнее неравенство выполняется при всех t ? Для этого график функции f(t) = t² + at – 2 должен выглядеть следующим образом:

Это произойдет в том и только том случае, когда f(-1) < 0 и f(1) < 0, т. е.

> 0

(1 + а - 2)(1 – а - 2) > 0, (а - 1)( а + 1) < 0

Ответ: при a (-1; 1).

3. Пусть АВСD — исходный четырехугольник. О₁ – центр вневписанной окружности, касающейся стороны АD, О₂ – стороны АВ, О₃ – стороны ВС, О₄ – стороны СD.

Покажем, что прямая О₁О₂ проходит через А. DАЕ = ВАF. АО₁ и АО₂ – биссектрисы этих углов. Поэтому АО₂ = АО₁ = О₂АF = О₁АЕ = . Пусть DАВ = , тогда , , но . Значит

, и, следовательно А лежит на прямой О₁О₂.

Кроме того, АО₁ = АО₂ . Аналогично, ВО₂ = ВО₃ , СО₃ = СО₄ , DО₄ = DО₁ .

Тогда в четырехугольнике О₁О₂О₃О_4: О₂ + О₄ = АО₂ + ВО₂ + СО₄ + DО₄ = АО₁ + ВО₃ + СО₃ + DО₁ = О₁ + О₃.

Суммы противолежащих углов равны. Следовательно, около четырехугольника можно описать окружность, ч. т. д.

4. Решение. Всего таких семизначных чисел 7!. Любая цифра в первом разряде (во втором, третьем и т. д.) встречается 6! раз. Найдем сумму цифр в первом (во втором, третьем и т. д.) разряде среди всех таких семизначных чисел: . Найдем теперь сумму всех таких семизначных чисел: 6!28 + 6!28 + 6!28 + …+6!28 = 6!28(1 + 10 + 10² + …+ 10⁶). Это число делится на 9.

5. Найдем произведение этих 2n чисел. Оно будет равно произведению квадратов каждых чисел из клеток (так как каждое число в этом произведении будет встречаться 2 раза), т. е. равно 1. Отсюда следует, что среди выписанных 2n чисел (-1) встречается четное число 2k раз (k ≤ n). Тогда вся сумма равна -2k + (2n -2k ) = 2 n -4k, что не может быть равно 0, так как n – нечетное.

Ответ: не может.