2.1 Основні залежності методу переміщень для прямолінійного стержня постійної жорсткості

Для одержання основних залежностей методу переміщень розглянемо деформацію прямого стержня, який виділено із плоскої стержневої системи. На рисунку 2.1 зображено вихідне й деформоване положення стержня системи.

Рисунок 2.1- Вихідне та деформоване положення стержня системи

Обмежимося системами з малими деформаціями з матеріалів, що підкоряються закону Гука. При виводі приймемо принцип незалежності поперечних і поздовжніх деформацій, тобто будемо вважати що поздовжні сили не впливають на величину поперечних деформацій, а згинальні моменти не впливають на величину поздовжніх деформацій. У цьому випадку диференціальні рівняння рівноваги прямого стержня мають вигляд:

При прийнятих допущеннях між внутрішніми зусиллями й переміщеннями й існують залежності:

Ураховуючи залежності (2.1) систему диференціальних рівнянь рівноваги прямого стержня в переміщеннях можна представити у вигляді:

де – жорсткості стержня при розтяганні й вигині відповідно;

- компоненти переміщення перерізу, паралельні координатним осям та відповідно;

– компоненти розподіленого навантаження, паралельні осям і відповідно.

Рішення системи рівнянь (2.3) можна представити у вигляді:

Використовуючи граничні умови

можна виразити постійні інтегрування через переміщення кінцевих перерізів. З огляду на диференціальні залежності (2.2) та умови на границях:

одержимо систему рівнянь, з якої знайдемо значення згинальних моментів, поперечних і поздовжніх сил на кінцях стержня :

де – зусилля на кінцях та стержня від місцевого навантаження коли перерізи та стержня жорстко защемлені. Інші позначення в залежностях (2.7) відповідають рисунку 2.1.

Значення легко можна визначити за допомогою таблиці 2.1, у якій наведено епюри та величини опорних реакцій для випадків навантаження стержня, які найчастіше зустрічаються на практиці. У більш складних випадках навантаження стержня для визначення цих величин слід скористатися методом сил, методом переміщень або методом початкових параметрів.

Таблиця 2.1 – Реакції балок постійного перерізу з двома защемленими кінцями

Схема балки та вплив на неї	Реакції опор

Продовження таблиці 2.1

Схема балки та вплив на неї	Реакції опор
	Напрям реакцій та епюра моментів відповідає умові: . Напрям реакцій відповідає умові:
	Напрям реакцій та епюра моментів відповідає умові: .

Залежностями (2.7) визначаються кінцеві зусилля стержня коли відомі переміщення кінцевих перерізів та – . Ці залежності надалі будемо називати основними залежностями методу переміщень для прямолінійного стержня в статиці стержневих систем у місцевій (локальній) системі координат.

У практичних додатках зручніше користуватися залежностями, записаними для глобальної (загальної) системи координат. Як видно з рисунка 2.2, між компонентами переміщень кінцевих перерізів та , визначеними в локальній (місцевій) і в глобальній (загальній) системах координат, існують залежності:

Рисунок 2.2 - До визначення зв’язку між компонентами переміщень визначеними в

локальній і в глобальній системах координат

З урахуванням залежностей (2.8) основні залежності методу переміщень (2.7) можна записати у вигляді:

У тому випадку, коли на одному із кінців стержня є шарнір (наприклад, на кінці ), для визначення трьох зусиль ми маємо визначити чотири переміщення . Щоб не розшукувати зайву невідому, виключимо кут повороту шарнірного кінця . Для цього скористаємось тим, що в цьому випадку Знайшовши з цієї умови та підставивши його в отримаємо основні залежності методу переміщень для стержня із шарніром на кінці.

У локальній системі координат кінцеві зусилля визначаються залежностями:

У переміщеннях глобальної системи координат визначаються залежностями:

Зауваження!

При користуванні формулами (2.10) та (2.11) для обчислень слід користуватися результатами, які отримані для стержня з одним защемленим та з другим шарнірним кінцем.

Для випадків, які найчастіше зустрічаються на практиці, значення опорних реакцій балки із шарніром на кінці наведено в таблиці 2.2.

Таблиця 2.2 – Реакції балок постійного перерізу з одним защемленим та з другим шарнірним кінцем

Схема балки та вплив на неї	Реакції опор

Продовження таблиці 2.2

Схема балки та вплив на неї	Реакції опор
	Напрям реакцій та епюра моментів відповідає умові: . Напрям реакцій відповідає умові:
	Напрям реакцій та епюра моментів відповідає умові: .

2.2 Ідея методу переміщень

З основних залежностей методу переміщень випливає, що кінцеві зусилля стержнів можна обчислити якщо відомі кутові і лінійні переміщення вузлів стержневої системи, а за залежностями (2.2) і (2.4) визначити переміщення й зусилля в будь-якому перерізі стержня. Тому в якості основних невідомих (невідомих, які визначаються у першу чергу) при розрахунку стержневих систем методом переміщень приймають кутові й лінійні переміщення вузлів стержневої системи. Склавши умови рівноваги вузлів або відсічених частин стержневої системи й виразивши зусилля, що увійшли в ці рівняння, через переміщення кінцевих перерізів (вузлів), одержують систему алгебраїчних рівнянь для визначення основних невідомих – розв’язувальну систему рівнянь методу переміщень. При цьому завжди можна скласти стільки рівнянь рівноваги, скільки є основних невідомих у намічених вузлах. Визначивши переміщення вузлів стержневої системи, знаходять кінцеві зусилля елементів, а потім за залежностями (2.2) і (2.4) досліджують напружений та деформований стани всієї системи. Виходячи із цього, можна намітити наступний порядок розрахунку стержневих систем методом переміщень.