1.1.3. Способи задання функції

Як і функцію однієї змінної, функції двох змінних можна зобразити:

— аналітично (у вигляді формули), наприклад:

 ,

— таблично (у вигляді таблиці), наприклад:

таблицею задана функція ;

— графічно:

Для графічного зображення функції двох змінних використовуємо систему координат Оxyz у тривимірному просторі (рис. 1.6).

Рис. 1.6

Кожній парі чисел x та y відповідає точка площини Оxy. У точці проводимо пряму, перпендикулярну до площини Оxy, та позначаємо на ній відповідне значення функції z; дістаємо в просторі точку Q з координатами , яка позначається символом . Точки Q, які відповідають різним значенням незалежних змінних, утворюють певну поверхню у просторі. Така поверхня є графічним зображенням функції .

Приклад. Графічне зображення функції є площина, яка проходить через точки (0; 0; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 0) (рис. 1.7).

Рис. 1.7 Рис. 1.8.

Графічне зображення функції є півкуля (рис. 1.8).

Існує й інший спосіб геометричного зображення функції двох змінних — зображення за допомогою ліній рівня.

Означення. Лінією рівня називається множина всіх точок площини, в яких функція набуває однакових значень.

Рівняння ліній рівня записують у вигляді .

1.1.4. Знаходження області визначення функції двох змінних

Покажемо алгоритм знаходження області визначення функції двох змінних на прикладі.

Приклад. Знайти область визначення функції та надати їй геометричну інтерпретацію.

 1. Знайдемо область визначення функції аналітично

.

2. Нерівності в D замінюємо рівностями і будуємо лінії, що їм відповідають на координатній площині, а саме: ; .

Рис. 1.9

3. Визначаємо за допомогою контрольних точок , розміщення D на площині і заштриховуємо її (рис. 5.9).

5.1.5. Границя функції двох змінних

Означення. Число B називається границею функції при , , якщо для будь-якого існує число таке, що при виконанні нерівності виконується нерівність і позначається або .

Зауваження. Для функції багатьох змінних справедливі теореми про границю суми, добутку та частки, які анало- гічні відповідним теоремам для функції однієї незалежної змінної.

Наведемо формулювання відповідних теорем.

Теорема 1. Якщо функція має границю при , то вона єдина.

Теорема 2. Якщо функція має границю при , то вона обмежена в деякому околі точки .

Теорема 3. Якщо , і в деякому околі точки виконується нерівність , то .

Теорема 4. Нехай , . Тоді:

1)  ;

2)  ;

3)  .

Зауваження. Між поняттями границі в точці для функції однієї змінної та функції багатьох змінних є багато спільного, але є й принципова відмінність, яка робить поняття границі функції кількох змінних суттєво більш обмеженим, ніж поняття границі функції однієї змінної.

Рис. 1.10 Рис. 1.11

Очевидно, що рівність правильна тоді й тільки тоді, коли границя дорівнює b при наближенні до точки по будь-якій траєкторії. Це суттєво більш обмежене, ніж збіг двох односторонніх границь у випадку функції однієї змінної.

Теорема 5. Якщо 1) існує (скінченна або ні) подвійна границя

і 2) при будь-якому у з Y існує (скінченна) звичайна гра- ниця по х , то існує повторна границя , яка дорівнює подвійній границі.