1.2.4. Диференціювання складної функції

Теорема 17. Нехай на множині D визначена складна функція , де , і нехай функції , мають у деякому околі точки неперервні частинні похідні, а функція — неперервні частинні похідні в деякому околі точки , де , . Тоді складна функція диференційовна в точці , причому

, .

Приклад. Знайти і для функції .

 Маємо де .

Тоді , , , , , .

Таким чином, , , або після підставляння виразів u і v дістанемо , .

1.2.5. Дотична площина та нормаль

Якщо функція диференційовна в точці , то виконується рівність

або

Узявши в цій наближеній рівності , , дістанемо:

(1.3)

На формулі (1.3) ґрунтується алгоритм використання диференціала для наближених обчислень.

Крім того, якщо в рівності (5.3) взяти , , дістанемо

Це рівняння дотичної площини, що проходить через точку .

Якщо поверхню задано у просторі рівнянням , то рівняння дотичної площини до поверхні в точці має вигляд:

, (1.4)

де , , .

Нормаль до поверхні в точці — це пряма, що проходить через точку і перпендикулярна до дотичної площини. Отже, її рівняння

.

5.2.6. Похідна за напрямом. Градієнт

Означення. Нехай функція визначена в деякому околі точки ; — деякий промінь з початком у точці ; — точка на цьому промені, яка належить околу, що розглядається (рис. 1.19); — довжина відрізка . Границя , якщо вона існує, називається похідною функції за напрямом у точці і позначається .

Рис. 1.19

Зокрема, є похідна функції за додатним напрямом осі Ох, а — похідна функції за додатним напрямом осі Оу.

Похідна за напрямом характеризує швидкість змінювання функції у точці за напрямом .

Теорема 18. Якщо функція має в точці неперервні частинні похідні, тоді в цій точці існує похідна за будь-яким напрямом , причому

,

де і — значення частинних похідних функції у точці .

23