1.2.9. Диференціювання неявної функції

І. Функція двох змінних. Функція визначає одну зі змінних х або у як неявну функцію іншої змінної. Поданий вираз — це деяке рівняння, що містить х та у і всі члени якого перенесені в ліву частину. Нехай . Тоді . Проте оскільки , то і Звідси

(17)

Розв’язавши рівняння (17) відносно (вважаючи, що і існують), знайдемо залежність

(18)

Це так звана формула диференціювання неявної функції.

Нею подаються відносні швидкості зміни значень х щодо значень у, чим забезпечується незмінність f(x, y). Геометрично це означає, що точка (x, y) рухається вздовж кривої, рівняння якої є и = f(x, y), а (18) визначає для будь-якого моменту напрям її руху.

Д ля функції знайти .

^● Нехай

З рівняння (18) знаходимо:

.

В ідомо, що змінна х, проходячи через значення х = 3 дм, зростає зі швидкістю 2 дм/с. З’ясуємо, з якою швидкістю має змінюватись у при у = 1 дм, щоб функція 2ху² – 3х²у лишалася сталою.

^● Нехай

знаходимо частинні похідні цієї функції за х і за у:

Підставляючи в (18), маємо:

, або .

За умовою х = 3, у = 1, , звідки (дм/с).

З найти похідні від функцій

1.

^●

2.

^●

3.

^●

4.

^●

1.3. Дослідження функцій багатьох змінних

1.3.1. Поняття екстремуму функції багатьох змінних

Означення. Точка називається точкою максимуму функції , якщо існує окіл точки , для всіх точок якого виконується нерівність

.

Означення. Точка називається точкою мінімуму функції , якщо існує окіл точки , для всіх точок якого виконується нерівність

.

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму.

Графічна інтерпретація

Точка А — точка максимуму Точка В — точка мінімуму

Рис. 1.25 Рис. 1.26

Можливий ще й такий варіант екстремальної точки: так звана сідлова точка (рис. 1.27).

Точка С — сідлова точка

Рис. 1.27

1.3.2. Необхідні умови існування екстремуму

Теорема 1.20. Для точки екстремуму функ­ції частинні похідні або дорівнюють нулю, або не існують.

Означення. Точки, в яких функція визначена, а її частинні похідні дорівнюють нулю або не існують, називають критичними точками цієї функції.

Д ля функції усі точки осі х є критичними, бо в кожній такій точці функція визначена, , а не існує. Точки екстремуму функції слід шукати лише серед її критичних точок.

Якщо для функції у точці екстремуму існують частинні похідні за всіма змінними, то всі вони дорівнюють у цій точці нулю:

(1)

_{Умови (1) не є достатніми умовами існування екстремуму.}

Д ля функції ці умови виконуються в початку координат, але ця точка не є екстремальною для розглядуваної функції.

Означення. Точки, координати яких задовольняють систе- му рівнянь (1), називаються стаціонарними точками функції . Точки екстремуму диференційовної функції слід шукати лише серед її стаціонарних точок.

1.3.3. Достатні умови існування екстремуму

Теорема 1.21. Нехай функція — двічі неперервно диференційовна в околі стаціонарної точки . Тоді точка :