1) То у стаціонарній точці функція має екстремум: — точка максимуму; — точка мінімуму;

2) — у точці функція не має екстремуму;

3) — сумнівний випадок.

1.3.4. Гессіан

Другий диференціал функції багатьох змінних

(13)

є симетричною квадратичною формою відносно диференціалів незалежних змінних .

_{Означення. Матриця квадратичної форми (13), елемен- ти якої є частинними похідними другого порядку функції , тобто , називається матрицею Гессе:}

_{. (14)}

Визначник матриці Н називається гессіаном.

У частинному випадку функції двох змінних достатні умови екстремуму з використанням гессіана формулюються так.

Теорема 1.22. Нехай функція z = f(x, y) двічі неперервно диференційовна в околі стаціонарної точки (x₀, y₀). Тоді точка (x₀, y₀):

1) Є точкою мінімуму, якщо в ній

2) Є точкою максимуму, якщо в ній

3) Не є точкою екстремуму, якщо

4) потрібне додаткове дослідження за допомогою диференціалів вищих порядків, якщо

.

Д ослідити функцію на екстремум.

^● 1. Знаходимо частинні похідні першого порядку:

,

2. Розв’язавши систему рівнянь

знаходимо стаціонарні точки і

3. Обчислюємо частинні похідні другого порядку:

,

4. У точці визначники ∆₁ і ∆₂ відповідно такі:

∆₁ = 6 > 0,

У точці маємо:

∆₁ = – 6,

5. Отже, за теоремою 1.22 точка є точкою мінімуму; у точці екстремуму немає.

Обчислюємо значення функції в точці мінімуму:

.

Д ослідити функцію на екстремум.

1. Знайдемо частинні похідні першого порядку:

.

2. Розв’язавши систему

знайдемо стаціонарну точку .

3. Обчислимо частинні похідні другого порядку:

4. Матриця Гессе має вигляд:

.

5. У точці всі головні мінори цієї матриці додатні: ₁ = 2, ₂ = 3, ₃ = 6.

Отже, у точці функція має мінімум

.

1.3.5. Поняття умовного екстремуму

Нехай на відкритій множині задано функції

і нехай Е — множина точок, координати яких задовольняють рівняння

(15)

Рівняння (15) називаються рівняннями зв’язку, або обмеженнями.

Означення. Точка називається точкою умов­ного максимуму функції відносно рівняння зв’язку (15), якщо існує такий окіл точки х⁰, для всіх точок якого, що задовольняють рівняння зв’язку, виконується нерівність:

Якщо за цих умов виконується нерівність

то точку називають точкою умовного мінімуму функції при обмеженнях (15).

Ф ункція z = xy відносно рівняння зв’язку у точці (0, 0) має умовний мінімум, бо z = (0, 0) = 0, а в точках (, ), що задовольняють рівняння зв’язку, значення функції додатні.

Означення. Точки умовного максимуму і мінімуму називають точками умовного екстремуму. Умовний екстремум називають іноді відносним екстремумом.

Геометрична інтерпретація (рис. 1.28).

.

13