Зростання та спадання функції. Екстремуми функції та правила їх знаходження.

Ознака зростання (спадання) функції: Якщо функція f має додатню (від’ємну) похідну в кожній точці деякого інтервалу, тоді вона зростає (спадає) на цьому інтервалі.

Внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна функції дорівнює 0, нескінченості або не існує, називаються критичними.

Правило знаходження інтервалів монотонності функції:

1. Знаходять похідну даної функції.

2. Знаходять критичні точки.

3. Критичними точками розбивають область визначення функції на інтервали, в яких похідна зберігає свій знак. Якщо «+», то функція зростає, якщо «–», то спадає.

Точка х=а називається точкою максимуму (мінімуму) функції f(x), якщо виконується нерівність для довільного х з деякого околу точки х=а.

Максимум та мінімум функції називають екстремумом функції.

Теорема Ферма: Якщо точка х=а є точкою екстремуму для функції f(x) та в цій точці існує похідна, тоді вона дорівнює 0.

Теорема (достатня ознака існування екстремуму): Якщо похідна f^I(x) при переході через точку х=а змінює свій знак, тоді х=а являється екстремумом для функції f(x). До того ж, якщо ліворуч від х=а f^I(x)<0, а праворуч – f^I(x)>0, тоді х=а є точкою мінімуму, і навпаки, якщо ліворуч від х=а f^I(x)>0, а праворуч – f^I(x)<0, тоді х=а є точкою максимуму.

Правило № 1 знаходження екстремумів функції (за першою похідною):

1. Знаходять похідну даної функції;

2. обчислюють критичні точки;

3. встановлюють знаки похідної при переході через критичні точки та знаходять екстремуми;

4. обчислюють значення функції в екстремумах.

Правило № 2 знаходження екстремумів функції (за другою похідною):

1. Знаходять похідну даної функції;

2. обчислюють критичні точки;

3. знаходять другу похідну;

4. обчислюють значення другої похідної в критичних точках:

Точки перегину. Правила знаходження.

Крива називається опуклою у точці х=а, якщо у деякому околі цієї точки, вона розташована під своєю дотичною в точці (а;f(а)).

Крива називається вгнутою у точці х=а, якщо у деякому околі цієї точки, вона розташована над своєю дотичною в точці (а;f(а)).

Точки, що відділяють опуклі частини графіку від вгнутих, чи навпаки, називаються точками перегину.

Теорема: Якщо друга похідна у даному проміжку має додатній знак, тоді крива вгнута на цьому проміжку, а якщо – від’ємний знак, тоді опукла. Точками перегину є ті точки, при переході через які друга похідна змінює свій знак.

Правило знаходження точок перегину функції:

1. знаходять другу похідну;

2. обчислюють точки, в яких вона дорівнює 0, або не існує;

3. визначають проміжки, на яких вона зберігає свій знак. Якщо «+», то функція вгнута, якщо «–», то опукла;

4. знаходять точки перегину та значення функції в них.

План дослідження функції:

1. Знайти область визначення функції.

2. Дослідити парність, непарність та періодичність.

3. Знайти точки перетину графіку з осями координат.

4. Дослідити на екстремум та знайти проміжки спадання і зростання функції.

5. Знайти точки перегину та інтервали вгнутості та опуклості.

6. Побудувати графік функції.

Приклад № 6. Дослідити функції та побудувати їх графіки

_{Розв’язання:}

_а)

1. Область визначення:

2. Функція неперіодична, перевіримо парність та непарність:

не є парною, не є непарною.

3.Точки перетину з осями координат: з Ох у=0,тоді

, тобто (-3;0), (1;0). З Оу х=0, тоді , тобто, (0;-3).

4. Знайдемо екстремуми: - критична точка.

_{, точка (-1;-4) – точка мінімуму функції.}

5. Знайдемо точки перегину: , це означає, що точок перегину немає. , отже, функція вгнута на всій області визначення.

6. Побудуємо графік даної функції:

_{Розв’язання:}

_б)

1. Область визначення:

2. Функція неперіодична, перевіримо парність та непарність:

не є парною, не є непарною.

3.Точки перетину з осями координат: з Ох у=0,тоді

, точки перетину є. З Оу х=0, тоді , тобто, (0;4).

4. Знайдемо екстремуми: - критичні точки.

_{, точка (-2;20) – точка максимуму функції, точка (2;-12) – точка мінімуму функції.}

5. Знайдемо точки перегину: - можлива точка перегину.

, отже, функція вгнута на

_{і опукла на , тобто точка (0;4) – точка перегину функції.}

6. Побудуємо графік даної функції: