Застосування визначеного інтеграла
1. Площі плоских фігур.
1)Площа
криволінійної трапеції
(мал.
1.), обмежену графіком неперервної функції
( де
),
відрізком
вісі
та відрізками прямих
,
,
обчислюється за формулою
.
2)Площа
фігури
(мал.. 2.), обмежену графіками неперервних
функцій
та
( де
),
відрізками прямих
,
,
обчислюється за формулою
.
Приклад
14.
Обчислити
площу фігури, обмежену параболою
,
прямими
,
та віссю абсцис.
Р
озв’язання:
Побудуємо
необхідну площу (мал. 3). Тоді
Приклад
15.
Обчислити
площу фігури, обмежену параболами
та
.
Розв'язання:
Побудуємо
необхідну площу (мал.4). Знайдемо межі
інтегрування, тобто абсциси точок
перетину графіків функцій
та
.
Для цього розв'яжемо систему:
.
Отже,
,
Тоді
.
3. Шлях, пройдений тілом.
Якщо
точка рухається прямолінійно та її
швидкість
є відома функція часу
,
тоді шлях, який пройшло тіло за проміжок
часу
,
обчислюється за формулою:
.
Приклад
18.
Знайти
шлях,
що виконало тіло за 10с від початку руху,
якщо його швидкість змінюється за
законом:
.
Розв’язання:
.
Приклад
19.
Швидкість
тіла, яке рухається прямолінійно,
дорівнює
.
Обчислити шлях, пройдений тілом від
початку руху до зупинки.
Розв’язання:
В
момент зупинки швидкість тіла дорівнює
,
тобто
;
,
тобто
.
Тоді
Питання для самоперевірки
1. Дати означення невизначеного та визначеного інтеграла.
2. Перелічити основні властивості інтегралу.
3. Визначити: у чому полягає геометричний зміст визначеного інтегралу?
4. Визначити: які є формули для визначення площі плоскої фігури за допомогою визначеного інтегралу?
5. З’ясувати, за якою формулою обчислюється шлях, пройдений тілом?
Самостійна робота
№1. Знайти інтеграли:
1. а)
; б)
.
2. а)
; б)
.
3. а)
; б)
.
4. а)
; б)
.
5. а)
; б)
.
6. а)
; б)
.
7. а)
; б)
.
8. а)
; б)
.
9. а)
; б)
.
10. а)
; б)
.
11. а)
; б)
.
12. а)
; б)
.
13. а)
; б)
.
14. а)
; б)
.
15. а)
; б)
.
16. а)
; б)
.
17. а)
; б)
.
18. а)
; б)
.
19. а)
; б)
.
20. а)
; б)
.
21. а)
; б)
.
22. а)
; б)
.
23. а)
; б)
.
24. а)
; б)
.
25. а)
; б)
.
26. а)
; б)
.
27. а)
; б)
.
28. а)
; б)
.
29. а)
; б)
.
30. а)
; б)
.
№ 2. Обчислити визначені інтеграли:
1. а)
;
б)
.
2. а)
;
б)
.
3. а)
; б)
.
4. а)
; б)
.
5. а)
; б)
.
6. а)
; б)
.
7. а)
; б)
.
8. а)
; б)
.
9. а)
; б)
.
10. а)
; б)
.
11. а)
; б)
.
12. а)
; б)
.
13. а)
; б)
.
14. а)
; б)
.
15. а)
; б)
.
16. а)
; б)
.
17. а)
; б)
.
18. а)
; б)
.
19. а)
; б)
.
20. а)
; б)
.
21. а)
; б)
.
22. а)
; б)
.
23. а)
; б)
.
24. а)
; б)
.
25. а)
; б)
.
26. а)
; б)
.
27. а)
; б)
.
28. а)
; б)
.
29. а)
; б)
.
30. а)
; б)
.
№ 3. Зробіть креслення та обчисліть площу фігури, обмежену даними лініями:
1. 
та
віссю
.
2. 
.
3. 
.
4. 
та
віссю
.
5. 
та
.
6. 
.
7. 
та
віссю
.
8. 
.
9. 
.
10. 
та
віссю
.
11. 
та
.
12. 
.
13. 
та
віссю
.
14.
та
.
15. 
.
16. 
та
віссю
.
17. 
та
.
18. 
.
19. 
.
20. 
.
21. 
.
22. 
.
23. 
.
24. 
.
25. 
та
віссю
.
26. 
.
27. 
.
28. 
.
29. 
.
30. 
.
№ 5. Розв’язати прикладну задачу:
1. Тіло
кинули з поверхні землі вертикально
вгору з швидкість
.
Обчисліть найбільшу висоту, на яку
підніметься тіло
2. Швидкість
прямолінійного руху тіла задана рівнянням
.
Обчисліть його шлях, пройдений за
четверту секунду.
3. Швидкість
прямолінійного руху тіла задана рівнянням
.
Обчисліть його шлях, пройдений за десяту
секунду.
4. Швидкість
руху точки змінюється за законом
.
Знайти шлях, який пройшло тіло за третю
секунду.
5. Швидкість
руху точки
.
Знайти шлях, який пройшла точка від
початку руху до зупинки.
6. Швидкість
руху тіла
.
Знайти шлях, який воно пройшло
за п’яту секунду від початку руху.
7. Швидкість
руху точки
.
Знайти її шлях за другу секунду.
8. Тіло
кинули з поверхні землі вертикально
вгору з швидкість
.
Знайдіть найбільшу висоту, на яку
підніметься тіло
9. Швидкість
точки
.
Знайти її шлях за третю секунду.
10. М’яч кинули вертикально вгору. Знайти максимальну висоту
піднімання
м'яча, якщо
.
11. Тіло кинули з поверхні землі вертикально вгору з швидкість . Обчисліть найбільшу висоту, на яку підніметься тіло
12. Швидкість прямолінійного руху тіла задана рівнянням . Обчисліть його шлях, пройдений за четверту секунду.
13. Швидкість прямолінійного руху тіла задана рівнянням . Обчисліть його шлях, пройдений за десяту секунду.
14. Швидкість руху точки змінюється за законом . Знайти шлях, який пройшло тіло за третю секунду.
15. Швидкість руху точки . Знайти шлях, який пройшла точка від початку руху до зупинки.
16. Швидкість руху тіла . Знайти шлях, який воно пройшло за п’яту секунду від початку руху.
17. Швидкість руху точки . Знайти її шлях за другу секунду.
18. Тіло кинули з поверхні землі вертикально вгору з швидкість . Знайдіть найбільшу висоту, на яку підніметься тіло
19. Швидкість точки . Знайти її шлях за третю секунду.
20. М’яч кинули вертикально вгору. Знайти максимальну висоту
піднімання м'яча, якщо .