1.2. Числовые характеристики случайных величин

 

 Для  удобства  пользования  СВ  иногда  удобнее  бывает  использовать  их числовые  характеристики.  Важнейшими  из  них являются:  математическое  ожидание, дисперсия,  среднее  квадратическое  отклонение.

Математическое ожидание М(Х)  определяется  следующим  образом:

для   дискретной  СВ 

                               (1.2)

для непрерывной  СВ

                                                          (1.3)

Свойства математического  ожидания:

4. M(CX) = CM(X); M(C) = C, где С – произвольная константа;

5. M(X₁+X₂+…+X_k ) = M(X₁)+ M(X₂)+…+ M(X_k );

6. M(X₁X₂…X_k ) = M(X₁)M(X₂)…M(X_k ), если X_i – независимые СВ.

Математическое  ожидание  характеризует  среднее  ожидаемое  значение СВ. Однако для анализа СВ  знания лишь  среднего  значения  явно  недостаточно.  Существуют  отличные  друг от друга  СВ,  имеющие  одинаковые  математические  ожидания.  Следовательно,  нужна  числовая  характеристика,   которая  оценивает разброс    возможных  значений  СВ  относительно  ее  среднего  значения ( математического ожидания ) .  Такой характеристикой   является  дисперсия.

Дисперсией  D(X)  CВ X  называется  математическое ожидание  квадрата  отклонения СВ  от ее  математического  ожидания:

  (1.4)

При  этом  для дискретной СВ имеем:

   (1.5)

Для непрерывный    СВ

      (1.6)

Свойства дисперсии:

1. D(CX) = C²D(X); D(C) = 0, где С – произвольная константа;

2. D(X₁+X₂+…+X_k)=D(X₁)+D(X₂)+…+D(X_k), если X_i – независимые СВ.

Так как    дисперсия  имеет  размерность,  равную  квадрату   раз­мерности  СВ, то  вводится другая числовая характеристика – среднее квадратическое   отклонение.

 Средним квадратическим  отклонением _x  СВ Х  называют величину:

                                (1.7)

 Для оценки  разброса  значений СВ в  процентах  относительно ее среднего значения, вводится  коэффициент  вариации    V(x):

                           (1.8)

Для непрерывной СВ введены понятия моды и медианы.

Модой Мо(X) непрерывной СВ Х называется такое ее значение, которому соответствует максимальное значение ее плотности вероятности.

Медианой Ме(X) непрерывной СВ Х называется такое ее значение, которое определяется равенством

P(X<Me(X)) = P(X>Me(X)).

Меры  разброса (дисперсия, среднее  квадратическое отклонение,   коэффициент  вариации)  кроме  оценивания  рассеивания  значений СВ  обычно применяются   при  изучении  риска  различных  действий  со случайным   исходом:  в финансовом  анализе  при  оценивании  различных  активов  и портфеля  активов, при анализе риска инвестирования. 

Моменты СВ. Кроме математического  ожидания и дисперсии, для оценки СВ используются числовые характеристики, обобщающие М(X) и D(X), которые называются моментами СВ. Различают начальные и центральные моменты.

Начальным моментом порядка n СВ Х называется математическое  ожидание n-ой степени СВ Хⁿ:

v_n = M(Xⁿ).

Центральным моментом порядка n СВ Х называется математическое  ожидание n-ой степени величины (Х –М(Х))ⁿ:

_n = M(X – M(X))ⁿ.

Начальный момент первого порядка v₁ = M(X) представляет математи­ческое  ожидание самой СВ Х.

Центральный момент первого порядка, как нетрудно показать, равен нулю: ₁ = M(X – M(X))= 0.

Центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию СВ: ₂ = M(X – M(X))²=D(X).

Для дискретных СВ моменты имеют вид: