Геометрическая сущность и математическая основа построения карт

Географическое положение точек земной поверхности определяется, как известно, их координатами. Поэтому математическая задача построения картографического изображения заключается в проектировании на плоскость (карту) шарообразной поверхности Земли при строгом соблюдении однозначного соответствия между координатами точек на земной поверхности и координатами их изображения на карте. Такое проектирование требует знания формы и размеров Земли.

Говоря о форме (фигуре) Земли, имеют в виду не физическую ее поверхность, представляющую собой сложные сочетания возвышенностей и низменностей, гор и долин, а некоторую воображаемую (условную) поверхность среднего уровня Мирового океана в спокойном состоянии, которая как бы покрывает всю нашу планету и перпендикулярна в любой ее точке к направлению отвесной линии (направлению силы тяжести). Такая поверхность называется уровневой поверхностью. Фигура Земли, образованная уровенной поверхностью, совпадающей с поверхностью Мирового океана в состоянии полного покоя и равновесия и продолженной под материками и островами, называется геоидом.

Фигура геоида связана с направлением силы тяжести и, следовательно, существенно зависит от неравномерного распределения масс в земной коре. Поэтому поверхность геоида имеет неправильную, в геометрическом отношении весьма сложную фигуру с неравномерно изменяющейся кривизной. Однако исследованиями установлено, что поверхность геоида в общем близка к поверхности эллипсоида вращения с небольшим сжатием по направлению малой (полярной) оси (Слайд № 2).

Размеры любого эллипсоида вращения характеризуют большая а и малая b полуоси. Отношение ( а - b ) / а называется сжатием эллипсоида.

Эллипсоид вращения имеет математически правильную поверхность, образованную вращением эллипса вокруг его малой оси. Отступления по высоте точек поверхности геоида от поверхности наиболее близко подходящего к нему по своим размерам эллипсоида характеризуются в среднем величиной порядка 50 м не превосходят 150 м. По сравнению с размерами Земли такие расхождения настолько незначительны, что на практике форму Земли принимают за эллипсоид. Эллипсоид, который характеризует фигуру и размеры Земли, называют земным эллипсоидом.

При изображении физической поверхности Земли на карте (плоскости) ее вначале проектируют отвесными линиями на уровенную поверхность (Слайд № 3), а затем уже по определенным правилам это изображение развертывают на плоскость.

При изображении небольшого участка земной поверхности соответствующий участок уровенной поверхности принимают за горизонтальную плоскость и, спроектировав на нее этот участок, получают топографический план местности. Геометрическая сущность такого изображения заключается в следующем. Если из каждой точки какой-нибудь прямой АВ (рис. 3.3), произвольно расположенной в пространстве, опустить перпендикуляр на горизонтальную плоскость Р (плоскость проекций), то точки пересечения перпендикуляров с плоскостью доставят прямую аb, которая и будет плановым изображением прямой АВ. Изображение в плане точек и линий земной поверхности называется их горизонтальным проложением или горизонтальной проекцией.

В том случае, когда проектируемая линия горизонтальна, ее изображение в плане равно длине самой линии. Если проектируемая прямая наклонна, то ее горизонтальное проложение всегда короче ее длины и уменьшается с увеличением угла наклона. Горизонтальное проложение вертикальной линии представляет точку.

При создании карты на нее наносят в заданном масштабе, то есть с определенным уменьшением, горизонтальные проложения всех точек местности, линий, контуров, проектируя Их на уровенную поверхность Земли, которую в пределах листа карты принимают за горизонтальную плоскость. На местности все линии обычно наклонны, а, значит, их горизонтальные проложения всегда короче самих линий.

Сферическую поверхность развернуть на плоскости без разрывов и складок невозможно, то есть ее плановое изображение на плоскости нельзя представить без искажений, с полным геометрическим подобием всех ее очертаний. Полного подобия спроектированных на уровенную поверхность очертаний островов, материков и различных объектов можно добиться лишь на шаре (глобусе). Изображение поверхности Земли на шаре (глобусе) обладает равномасштабностью, равноугольностью и равновеликостью.

Эти геометрические свойства одновременно и полностью сохранить на карте невозможно. Построенная на плоскости географическая сетка, изображающая меридианы и параллели будет иметь определенные искажения, поэтому будут искажены изображения всех объектов земной поверхности. Характер и размеры искажений зависят от способа построения картографической сетки, на основе которой составляется карта.

Отображение поверхности эллипсоида или шара на плоскости называется картографической проекцией Существуют различные виды картографических проекций. Каждому из них соответствуют определенная картографическая сетка и присущие ей искажения. В одном виде проекции искажаются размеры площадей, в другом - углы, в третьем - площади и углы. При этом во всех проекциях без исключения искажаются длины линий.

Выбор картографической проекции для топографических карт зависит от размеров картографируемой территории и ее географического положения. Большинство стран мира для составления топографических карт используют равноугольные проекции, сохраняющие равенство углов между направлениями на карте и на местности и подобие бесконечно малых фигур.

В Беларуси для топографических карт масштабов 1:25000 — 1:1000000 принята единая равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса. Эта же проекция принята у нас и для обработки результатов полевых геодезических измерений при определении координат геодезических пунктов.

Геометрическую сущность проекции топографических карт можно представить следующим образом. Весь земной эллипсоид делят на зоны и для каждой зоны в отдельности составляют карты. При этом устанавливают такие размеры зон, чтобы можно было каждую из них развернуть в плоскость, то есть изобразить на карте, практически без заметных искажений.

Для получения картографической сетки и составления по ней карты в проекции Гаусса поверхность земного эллипсоида разбивают по меридианам на 60 зон по 6° каждая (Слайд № 5).

Чтобы представить, как получается на плоскости изображение зон, вообразим цилиндр, который касается осевого меридиана одной из зон глобуса (Слайд № 6). Зону спроектируем по законам математики на боковую поверхность цилиндра так, чтобы при этом сохранилось свойство равноугольности изображения (равенство всех углов на поверхности цилиндра их величине на глобусе). Затем спроектируем на боковую поверхность цилиндра все остальные зоны, одну рядом с другой. Разрезав далее цилиндр по образующей АА₁ или ВВ₁ и развернув его боковую поверхность в плоскость, получим изображение земной поверхности на плоскости в виде отдельных зон (Слайд № 7).

Осевой меридиан и экватор каждой зоны изображаются прямыми линиями, перпендикулярными друг к другу. Все осевые меридианы зон изображаются без искажения длин и сохраняют масштаб на всем своем протяжении. Остальные меридианы в каждой зоне изображаются в проекции кривыми линиями, поэтому они длиннее осевого меридиана, то есть искажены. Все параллели также изображаются кривыми линиями с некоторым искажением. Искажения длин линий увеличиваются по мере удаления от осевого меридиана на восток или запад и на краях зоны становятся наибольшими, достигая величины порядка 1/1000 длины линии, измеряемой по карте. Например, если вдоль осевого меридиана, где нет искажений, масштаб равен 500 м в 1 см, то на краю зоны он будет равен 499,5 м в 1 см.

Отсюда следует, что топографические карты имеют искажения и переменный масштаб. Однако эти искажения при измерениях на карте очень незначительны, и поэтому считают, что масштаб любой топографической карты для всех ее участков является практически постоянным.

Благодаря единой проекции все наши топографические карты связаны с системой плоских прямоугольных координат, в которой определяется положение геодезических пунктов, а это позволяет получать координаты точек в одной и той же системе как по карте, так и при измерении на местности.

Разграфка и номенклатура топографических карт.

Деление многолистной карты на отдельные листы по определенной системе называется разграфкой карты, а обозначение листа многолистной карты – номенклатурой.

Топографические карты делятся на отдельные листы линиями меридианов и параллелей. Такое деление удобно тем, что рамки листов точно указывают положение на земном эллипсоиде участка местности, изображенного на данном листе, и его ориентировку относительно сторон горизонта.

Стандартные размеры листов карт различных масштабов указаны в таблице:

Лист карты масштаба 1 : 1000000 содержит целое число листов карт остальных масштабов, кратное четырем (4 листа карты масштаба 1 : 500 000, 36 листов карты масштаба 1 : 200 000, 144 листа карты масштаба 1 : 100000 и т.д.).

В соответствии с этим установлена и номенклатура листов, единая для топографических карт всех масштабов.

Номенклатура каждого листа указана над северной стороной его рамки. В основу обозначения листов топографических карт любого масштаба положена номенклатура листов карты масштаба 1 : 1 000000.

Листы карт, заключенные между соседними параллелями, образуют ряды или пояса, а листы между смежными меридианами - колонны. Ряды (пояса) листов обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (от А до V), счет их ведется от экватора к полюсам. Колонны листов нумеруются арабскими цифрами от 1 до 60, счет их ведется от меридиана с долготой 180° с запада на восток.

Номенклатура листа карты масштаба 1:1000000 слагается из обозначений ряда (буквы) и колонны (цифры), в пересечении которых лист расположен. Например, лист с г. Москва имеет номенклатуру N-37.

Размеры и расположение колонн листов карты масштаба 1:1000000 по долготе совпадают с шестиградусными зонами проекции Гаусса, в которой составляются топографические карты. Отличие состоит лишь в том, что счет зон ведется от нулевого (Гринвичского) меридиана, а счет колонн листов миллионной карты - от меридиана 180°. Поэтому номер зоны отличается от номера колонны на 30. Отсюда, зная номенклатуру листа карты, легко определить, к какой зоне он относится, и, наоборот, по номеру зоны можно найти колонну. Например, лист карты с г. Москва расположен в седьмой зоне: 37 - 30 = 7.

Номенклатура листов карт масштабов 1:100000 — 1:500000 слагается из номенклатуры соответствующего листа миллионной карты с добавлением к ней цифры (цифр) или буквы, указывающей расположение на нем данного листа.

Счет листов всех масштабов ведется слева направо и сверху вниз (Слайд № 9), при этом:

листы карты масштаба 1:500000 (4 листа) обозначаются русскими прописными буквами А, Б, В, Г. Следовательно, если номенклатура листа миллионной карты N-37, то заштрихованный на рисунке лист карты масштаба 1 :500 000 имеет номенклатуру N-37- В, а лист с г.Москва — Н-37-А;

листы карты масштаба 1:200000 (36 листов) обозначаются римскими цифрами от 1 до XXXVI. Номенклатура заштрихованного на рисунке листа карты N-37-ХХХ;

листы карты масштаба 1:100000 нумеруются цифрами от 1 до 144. Например, номенклатура листа, заштрихованного на рисунке, N-37-91.

Лист карты масштаба 1:100000 содержит 4 листа карты масштаба 1:50000, обозначаемые русскими прописными буквами А, Б, В, Г (Слайд № 9), а лист карты масштаба 1:50 000 - 4 листа карты масштаба 1:25000, которые обозначаются строчными буквами а, б, в, г.

В соответствии с этим номенклатура листов карты масштаба 1:50 000 слагается из номенклатуры листа карты масштаба 1:100000, а листов карты масштаба 1:25000 - из номенклатуры листа карты масштаба 1:50000 с присоединением к ней буквы, указывающей данный лист. Например, N-37-4-В означает лист карты масштаба 1:50000, а N-37-4-В-а - лист карты масштаба 1:25000.

Достоинством системы разграфки и номенклатуры топографических карт является ее стройность и простота. Она может быть использована для всей поверхности земного шара и исключает случаи повторения номенклатуры листов карт различных районов. Удобство рассмотренной номенклатуры, кроме того, состоит в том, что по ней легко определить широту и долготу каждого угла рамки любого листа карты, а также масштаб карты.

Так как меридианы к полюсам сближаются и, следовательно, линейные размеры северных и южных сторон рамок с увеличением широты уменьшаются, на районы севернее параллели 60° топографические карты всех масштабов издаются сдвоенными по долготе листами, а севернее параллели 76° карта масштаба 1:200000 издается строенными листами, карты остальных масштабов — счетверенными листами.