2.1.3.1. Две основные задачи аналитической геометрии.

Задача 1. Дано некоторое множество точек плоскости (пространства), обладающее некоторым набором свойств. Требуется составить уравнение (или систему уравнений), которое в некоторой системе координат задает это множество точек.

Задача 2 (обратная). В заданной системе координат некоторое множество точек плоскости (пространства) описывается заданным уравнением (или системой уравнений). Требуется определить вид и основные свойства этого множества и построить его эскиз.

2.1.4. Прямая на плоскости.

2 .1.4.1. Векторное уравнение прямой. Пусть на плоскости задана точка М₀(x₀, у₀) и ненулевой вектор N(A, B). В аналитической геометрии прямая задается как геометрическое место точек М(x, у) таких, что вектор ортогонален вектору N. Таким образом, в векторном виде уравнение прямой записывается так:

.

(скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю).

Дальше мы вернемся к этому уравнению; сначала вспомним, что известно о прямой из школы.

2.1.4.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

У равнением прямой с угловым коэффициентом называется уравнение вида у = к х + b. Выясним смысл параметров к и b.

Углом наклона прямой называется любой направленный угол, на который надо повернуть ось Ох, чтобы получить одно из направлений прямой. Очевидно, все углы наклона прямой отличаются друг от друга на величину , поэтому их тангенсы равны.

Рассмотрим две несовпадающие точки (х₁, у₁) и (х₂, у₂), принадлежащие прямой. Вычитая равенство у₁ = к х₁ + b из равенства у₂ = к х₂ + b, получим у₂ – у₁ = к (х₂ – х₁), откуда . Но из рисунка следует, что . Таким образом, параметр к, который называют угловым коэффициентом прямой, равен тангенсу угла наклона прямой: . Положив х = 0 в уравнении у = к х + b х, получим у = b. Таким образом, параметр b равен ординате точки пересечения прямой с осью Оу.

Так , уравнение с угловым коэффициентом невозможно записать для прямых с , т.е. для прямых, параллельных оси Оу. Такие прямые имеют уравнение х = х₀, где х₀ – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох.

2.1.4.3. Общее уравнение прямой. Вернемся к векторному уравнению прямой . Запишем скалярное произведение в координатной форме: N = (A, B), , следовательно, А(х – х₀) + В(у – у₀) = 0. Преобразуем это уравнение:

Ах + Ву + (–Ах₀ – Ву₀) = 0. Обозначим С = –Ах₀ – Ву₀, тогда A x + B y + C = 0, это уравнение называется общим уравнением прямой. Итак, общим уравнением прямой называется уравнение вида

A x + B y + C = 0.

У равнение с угловым коэффициентом у = к х + b является частным случаем общего уравнения (к х - у - b = 0, А = к, В = -1, С = - b). Уравнение х = х₀ прямой, параллельной оси Оу, которую нельзя описать уравнением с угловым коэффициентом, также является частным случаем общего уравнения (х – х₀ = 0, А = 1, В = 0, С = - х₀). Справедливо и обратное утверждение: каждое общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 может быть приведено либо к уравнению с угловым коэффициентом (если , то, решив уравнение относительно у, получим , ) , либо к виду х = х₀ (если В = 0, то , и .)

2.1.4.4. Уравнение прямой в отрезках. Так называется уравнение вида . Положив в этом уравнении х = 0, получим y = b; при у = 0 получаем х = а. Таким образом, параметры а и b равны, соответственно, абсциссе и ординате концов отрезков, отсекаемых прямой на осях Ох и Оу. В отрезках может быть записана любая прямая, не проходящая через начало координат. Общее уравнение A x + B y + C = 0 приводится к уравнению в отрезках при делением на –С: , т.е. .

2.1.4.5. Частные случаи общего уравнение прямой A x + B y + C = 0.

Если А = 0, то , и уравнение приводится к виду . Прямая параллельна оси Ох.

Если В = 0, то , и уравнение приводится к виду . Прямая параллельна оси Оу.

Если С = 0, то точка О(0, 0) удовлетворяет уравнению прямой. Прямая проходит через начало координат.

2.1.4.6. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Пусть прямая l₁ задана уравнением

у = к₁х + b₁, прямая l₂ задана уравнением у = к₂х + b₂; . Обозначим угол между этими прямыми. Так как , то . Таким образом, . Если прямые заданы своими общими уравнениями

l₁ : A₁x + B₁y + C₁ = 0, l₂ : A₂x + B₂y + C₂ = 0, то , и .

Отсюда выводятся условие параллельности прямых: l₁|| l₂, если к₁ = к₂, или , или А₁В₂ = А₂В₁.

и условие перпендикулярности прямых: , или

А₁А₂ + В₁В₂ = 0.

2.1.4.7. Условие перпендикулярности вектора и прямой. Любой вектор, перпендикулярный прямой, называется нормальным (к этой прямой). Если прямая l задана своим общим уравнением A x + B y + C = 0, то вектор N(A, B) нормален к l. Любой другой ненулевой вектор р(a, b), нормальный к прямой l, должен быть коллинеарным вектору N(A,B), поэтому окончательно условие перпендикулярности вектора и прямой запишется в виде .

2.1.4.7. Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая l задана уравнением A x + B y + C = 0, M₀(x₀, y₀) – произвольная точка плоскости. Для любой точки М₁(x₁, y₁), лежащей на прямой, расстояние d от точки M₀ до прямой l равно абсолютной величине проекции вектора на нормальный вектор N(A, B). Пусть точка М₁ имеет координаты (x₁, y₁), тогда , и

, так как из принадлежности точки М₁ прямой l следует, что Ax₁ + By₁ + C = 0, т.е. (-Ax₁ - By₁) = С. Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой, достаточно подставить координаты точки в общее уравнение прямой и полученное число разделить на длину нормального вектора. Так, расстояние между точкой M(1, 2) и прямой 3х + 4у + 5 = 0 равно . Расстояние от этой прямой до точки M(-5; 2,5) равно , т.е. эта точка лежит на прямой.