Понятие случайного события Полная группа событий

В основе теории вероятностей лежит понятие события. Что бы каким-то образом оценить событие, необходимо учесть или специально организовать условия, в которых оно происходит. Поэтому опытом или испытанием называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление или событие. При этом опыт может быть осуществлен человеком, а испытание проводится независимо от человека, выступающего в этом случае в роли наблюдателя. Под событием будем понимать возможный результат опыта или испытания.

Например:

• опыт – подбрасывания игрального кубика, тогда события - выпадение числа очков от 1 до 6;

• опыт – стрельба по мишени, событие - поражение цели;

• испытание – производство изделий, событие – бракованная продукция;

• испытание – удар баскетболиста, событие – попадание в корзину;

• испытание - инвестирование капитала, событие - получение прибыли не менее заданного размера отинвестирования капитала.

События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В, С…и т.д.

В зависимости от опыта (испытания) и природы явлений события бывают следующих видов:

1. Событие называют достоверным в данном опыте (испытании), если оно неизбежно произойдёт в этом опыте.

Например:

• в ящике только синие шары, тогда событие «из ящика извлечён синий шар» - достоверное, т.к. в ящике только синие шары;

• отсутствие солнца на небе в полночь;

• выпадение числа очков менее 8 при однократном подбрасывании игрального кубика.

2. Событие называется невозможнымв данном опыте (испытании), если оно заведомо не происходит в этом опыте.

Например:

• в ящике только синие шары, тогда событие «из ящика извлечён красный шар» - невозможное, т.к. в ящике нет красных шаров

• встреча на улице с человеком ростом выше 4 метров;

• извлечение годного изделия из партии бракованных изделий;

• выпадение числа очков более 8 при однократном подбрасывании игрального кубика.

3. Событие называют случайнымв данном опыте (испытании), если оно может произойти, а может и не произойти в этом опыте.

Например:

• в ящике синие и красные шары, одинаковые по размеру и весу, тогда событие «из ящика извлечён синий шар» - случайное, т.к. в ящике есть и красные и синие шары;

• выпадение «герба» при однократном подбрасывании монеты;

• выпадение шести очков при однократном подбрасывании игрального кубика.

4. Два события называются совместными в данном испытании, если появление одного из них не исключает появление другого в этом испытании.

Например:

• выпадение 4 очков (событие А) и выпадение четного числа очков (событие В) при подбрасывании кубика, события А и В совместные;

• в ящике синие и красные шары, одинаковые по размеру и весу, наугад вынимают два шара, тогда событие А – первый шар синий и событие В – второй шар красный, совместные.

5. Два события называются несовместными,если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании.

Например:

• несовместны попадание и промах при одном выстреле;

• в ящике синие и красные шары, одинаковые по размеру и весу, наугад вынимают один шар, тогда событие А –шар синий и событие В – шар красный, несовместные.

6. Несколько событий называются несовместными, если они попарно не совместны.

Например:

• в ящике синие, зеленые и красные шары, одинаковые по размеру и весу, пусть событие А – синий шар, событие В – зеленый шар, событие С – красный шар, наугад вынимают один шар, тогда события А, В и С несовместны, т.к. события А и В несовместны – один шар не может быть и синим и зеленым, события А и С тоже несовместны – один шар не может быть синим и красным, и события В и С так же несовместны – один шар не может быт и зеленым и красным, таким образом про события А, В и С можно сказать, что они попарно не совместны.

7. Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого, обозначаются .

Например:

• противоположны выпадение «орла» и «решки» при одном бросании монеты;

• попадание и промах в мишень при одном выстреле;

• рост и падение количества продаж для одного вида продукции в определенный момент времени.

8. Множество событий называется полной группой событий для данного испытания, если любым исходом его является одно и только одно событие из этой группы, т.е. выполняются следующие условия:

1. событие - достоверное;

2. события попарно несовместны, т.е. , где 0 – событие невозможное.

Например: рассмотрим события, появляющиеся при подбрасывании игрального кубика, т.е. при падении кубика, на верхней грани окажется одна из цифр – 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Обозначим - событие, заключающееся в том, что при подбрасывании кубика верхней гранью окажется грань с цифрой k. События образуют полную группу событий, т.к. эти события попарно - несовместны, появление одного и только одного из них является достоверным событием (при падении кубика, только одна из граней окажется верхней и на ней будет только одно число от 1 до 6).

9. События считаются равновозможными, если нет оснований полагать, что появление одного из событий является более возможным, чем появление других.

Например:при подбрасывании монеты событие А – появление «герба» и событие В – появление «решки» равновозможные события, так как предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не влияет на то, какая сторона монеты («герб» или «решка») окажется верхней.

10. Каждый из равновозможных результатов опыта (испытания) называется элементарным исходом (событием или шансом). Элементарный исход может быть рассмотрен либо как самостоятельное событие, либо как составляющая более сложного события.

Например: события - элементарные исходы при подбрасывании кубика.

11. Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называется благоприятными или благоприятствующими этому событию.

Например: при подбрасывании игрального кубика такие элементарные исходы как являются благоприятными для события «выпадения не четного числа очков».

Пример 1. Опыт подбрасывание двух игральных кубиков. Сколько элементарных исходов благоприятствует событию «на обоих кубиках выпало одинаковое число очков».

Решение:

Найдем сначала элементарные исходы полной группы событий данного опыта, они представляют собой наборы пар чисел от 1 до 6, где первое число – это число очков на первом кубике, а второе это число очков на втором кубике:

(1,1)	(2,1)	(3,1)	(4,1)	(5,1)	(6,1)
(1,2)	(2,2)	(3,2)	(4,2)	(5,2)	(6,2)
(1,3)	(2,3)	(3,3)	(4,3)	(5,3)	(6,3)
(1,4)	(2,4)	(3,4)	(4,4)	(5,4)	(6,4)
(1,5)	(2,5)	(3,5)	(4,5)	(5,5)	(6,5)
(1,6)	(2,6)	(3,6)	(4,6)	(5,6)	(6,6)

Теперь рассмотрим какие из всех элементарных исходов данного опыта благоприятствующие событию «на обоих кубиках выпало одинаковое число очков», это 6 элементарных исходов – (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) и (6,6).