Теорема сложения вероятностей событий

Теорема 1 Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

(5)

Теорема 2 Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

(6)

Теорема 3 Вероятность суммы n несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

(7)

Пример 8. В большой популяции плодовой мушки 25% мух имеют мутацию глаз, 50% — мутацию крыльев. Какова вероятность того, что у мухи, наудачу выбранной из этой популяции, окажется хотя бы одна из мутаций?

Решение Обозначим через А и В события, состоящие в том, что случайно выбранная муха имеет, соответственно, мутацию глаз или мутацию крыльев.

Вероятность того, что муха имеет одну или обе мутации, есть

Ответ:вероятность того, что у мухи, наудачу выбранной из этой популяции, окажется хотя бы одна из мутаций равна 0,75.

Пример 9 В ящике 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара окажется кратным 2 или 5?

Решение:

событие А – состоит в том, что номер наугад взятого шара окажется кратным 2;

событие В – состоит в том, что номер наугад взятого шара окажется кратным 5;

событие (А+В) – состоит в том, что номер наугад взятого шара окажется кратным либо 2, либо 5, либо тому и другому вместе ;

Надо найти Р(А+В), так как А и В – события совместные, то:

Всего шаров 10 – значит n=10. Из них 5 с номерами кратными 2 (благоприятствуют наступлению А), 2 кратны 5 (благоприятствуют наступлению В) и 1 кратен и2, и 5 одновременно (благоприятствуют наступлению АВ). По классическому определению вероятности получим:

следовательно получим:

Ответ:вероятность того, что номер наугад взятого шара окажется кратным либо 2, либо 5, либо тому и другому вместе равна 0,65.

Пример 10Подбрасывают игральный кубик. Чему равна вероятность того, что выпадет четное число очков?

Решение:

событие А – состоит в том, что выпадет 2 очка;

событие В – состоит в том, что выпадет 4 очка;

событие С – состоит в том, что выпадет 6 очков;

Надо найти Р(А+В+С), так как А, В и С – события несовместные, то:

Всего вариантов элементарных исходов при подбрасывании кубика равно 6 – значит n=6. Из них 1 с номером 2 (благоприятствуют наступлению А), 1с номером 4 (благоприятствуют наступлению В) и 1 с номером 6 (благоприятствует наступлению С). По классическому определению вероятности получим:

следовательно получим:

Ответ:вероятность того, что при подбрасывании кубика выпадет четное число очков равно 0,5.

Теорема Сумма вероятностей событий полной группы равна единице:

(8)

1.4. Теорема умножения вероятностей

Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается:

(9)

Пример 11:В урне 7 белых и 3 чёрных шара. Найти вероятность

1. извлечения белого шара (событие А);

2. извлечение белого шара после удаления из урны одного шара, который был белым (событие В) или чёрным (событие С).

Решение:Всего шаров в урне 10, из них белых – 7, значит вероятность события А равна:

Рассмотрим вероятность - это вероятность вытащить белый шар после удаления из урны одного белого шара, теперь в урне шаров осталось 9, из них белых 6, значит

Вероятность - это вероятность вытащить белый шар после удаления из урны одного чёрного шара, теперь всего шаров осталось 9, из них 7 белых, поэтому

Ответ: 1) вероятность извлечения белого шара равна 0,7; 2) вероятность извлечения белого шара после удаления из урны одного белого шара равна ; 3) вероятность извлечения белого шара после удаления из урны одного чёрного шара равна .

Два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или не появления другого, т.е.

и

в противном случае события называются зависимыми.

Теорема 1 Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

(10)

Теорема 2 Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей:

(11)

Теорема 3 Вероятность произведения n событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:

(12)

В частном случае для трёх событий А, В и С формула выглядит следующим образом:

(13)

Если события независимы, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей:

(14)

Пример 12 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка попадут в цель.

Решение.Событие А – попал первый стрелок, событие В - попал второй и событие С – попал третий, тогда событие АВС – попали все три стрелка. По теореме умножения для независимых событий получим:

Ответ: вероятность того, что все три стрелка попадут в цель равна 0,504

Пример 13 В группе 12 мальчиков и 18 девочек. Надо выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность, если выбор считать случайным, что выбраны: 1) два юноши; 2)две девушки; 3) юноша и девушка.

Решение: 1) событие А – первым выбрали юношу, В- вторым выбрали тоже юношу

Вероятность того, что первым выбрали юношу . Вероятность того, что вторым выбрали юношу, при условии, что первым уже выбран юноша, т.е. условная вероятность события В - .

Искомая вероятность:

2) Событие А – первой выбрали девушку, В – второй выбрали девушку, тогда

3) Событие А – первым выбрали юношу и событие В – второй выбрали девушку или С- первой выбрали девушку и D – вторым выбрали юношу, тогда

Ответ: 1) вероятность того, что случайным образом выберут двух юношей, равна 0,15;2) вероятность того, что случайным образом выберут двух девушек, равна 0,35; 3) вероятность того, что случайным образом выберут юношу и девушку равна 0,25.

Пример 14. В лотерее 1500 билетов, из которых,на один билет выпадает выигрыш 500 руб., на 10 билетов – 200 руб., на 20 билетов – 50 руб. На остальные билеты выпадает выигрыш 10 руб. Найти вероятность выигрыша не менее 50 руб. при покупке одного билета.

Решение: события А (выигрыш 500 руб.), В (выигрыш 200 руб.) и С (выигрыш 50 руб.) несовместны, то вероятность наступления D (выигрыш не менее 50 руб.) является суммой вероятностей первых трех событий, т.е.

Ответ: вероятность того, что при покупке одного билета выигрыш составит не менее 50 руб. равна 0,021.

Пример 15.Студент разыскивает нужную ему таблицу в трех справочниках. Вероятности того, что таблица содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,5; 0,8 и 0,9. Найти вероятности того, что таблица содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.

Решение.

А– таблица содержится в одном справочнике;

В– таблица содержится во двух справочниках;

С– таблица содержится во всех трех справочниках.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

1) событие таблица содержится только в одном справочнике т.е. или только в первом, или только во втором или только в третьем справочнике, так как эти события несовместны то получим:

2) событие таблица содержится в двух справочниках, т.е. или в первом и втором, или во втором и третьем, или в первом и третьем справочнике, так как эти события несовместны то получим:

3) событие таблица содержится в трех справочниках, т.е. и в первом и во втором и в третьем справочнике, так как эти события несовместны то получим:

Ответ:1) вероятность того, что таблица содержится только в одном справочнике равна 0,14; 2) вероятность того, что таблица содержится только в двух справочниках равна 0,49; 3) во всех трех справочниках во всех трех справочниках равна 0,36.