Контрольные вопросы:
Чему равны углы:
Область определения функций:
Чему равны:
Занятие 4.8 Простейшие тригонометрические уравнения, их решение
Уравнения вида
называются простейшими тригонометрическими
уравнениями.
II ч.
о
тсюда
I ч.
Например:
Например:
3)
; a
– любое значение 4)
;
a – любое значение
Например: Например:
Решить уравнения:
Решения уравнений:
5) Решаем в радианной мере измерения
распишем два случая:
или 
Ответ: .
Самостоятельно:
Контрольные вопросы:
Формулы решений уравнений вида:
Занятие 4.9 Решение тригонометрических уравнений
Решение тригонометрических уравнений:
1)
уравнение содержит функции одинакового
угла, можно привести к квадратному
уравнению, если заменить
:
Пусть
,
тогда
и тогда имеем два простейших уравнения
и
решаем их, применяя формулу решения
уравнения
уравнение не имеет решения, т.к.
И тогда, ответ:
2)
функции имеют разные углы, приведем к одному углу, используя формулы приведения:
,
т.к.
учитывая, что , имеем:
произведение равно 0, если хотя бы один из сомножителей равен 0, имеем
и 
– уравнение не имеет решения, т.к.
Ответ:
.
3)
и 
и тогда
Ответ:
.
4)
левую часть уравнения можно преобразовать
в произведение, используя формулу
и тогда
или 
Ответ: .
5)
левую часть можно преобразовать в произведение, используя способ группировки:
и тогда
или 
Ответ:
.
6) Рассмотрим уравнение
Замечаем, что левая часть уравнения
есть однородный многочлен относительно
функций
и
,
а правая часть равна нулю.
Такие уравнения называются однородными тригонометрическими уравнениями. Для их решения надо каждый член уравнения разделить на или в той степени, какова степень уравнения:
решаем квадратное уравнение относительно
функции
.
Пусть
,
тогда
тогда
Ответ: .
7)
Данное уравнение приводится к однородному
тригонометрическому уравнению; для
этого представим
.
Имеем:
разделим на
Ответ:
.
Итак, мы рассмотрели уравнения, приводимые к одному аргументу, квадратному уравнению; левая часть которых разлагается на множители, а правая равна нулю – однородные тригонометрические уравнения.
Самостоятельно:
Занятие 4.10 Решение тригонометрических уравнений
Итак, на прошлых занятиях рассмотрены:
1) простейшие тригонометрические
уравнения вида
;
2) уравнения, приводимые к квадратным,
однородные.
А сейчас рассмотрим уравнение линейное
относительно
и
,
которое имеет вид
.
Надо помнить, что уравнение имеет
решение, если
.
Это уравнение можно решать: 1) выразив
и
через
,
приводим уравнение к квадратному
относительно
;
2) введением вспомогательного угла.
Рассмотрим на конкретном примере:
1)
проверим условие ; действительно 25 < 64 + 9 уравнение имеет решение.
Первый способ.
имеем:
и 
Ответ:
;
.
Второй способ.
– уравнение имеет решения
Найдем
Разделим каждый член уравнения на
Заметим, что
и
,
а вот
.
Из этого следует, что 
, где
– вспомогательный угол. Для нашего
уравнения
;
отсюда
.
Наше уравнение принимает вид:
левая часть уравнения – это
и значит получаем
Найдем углы
Если дать значения
,
то получим те же углы, что и в первом
случае.
Ваше желание, какому способу отдать предпочтение.
Решим ещё: 2)
проверим условие:
– частный случай
Итак, что можно сказать о решении тригонометрических уравнений?
Наиболее применимы два метода:
привести тригонометрическое уравнение к алгебраическому различными методами, в зависимости от условия.
Метод разложения на множители, это общий метод решения многих уравнений. Суть его в том, что перенеся все члены в одну часть, надо постараться разложить её на множители. Таким образом решение уравнения сводится к решению совокупности простейших уравнений.
Продолжим решение тригонометрических уравнений различных видов.
3)
применяем формулу
и тогда:
Ответ: ; .
4)
левая часть уравнения это формула
Ответ: .
5)
применим формулу
к левой части уравнения:
Ответ:
.
6)
Учитывая, что
заменим
на
,
тогда
.
Применяем формулу и получим
,
то
7)
8)
ещё раз вспомним, как решать такие уравнения. Применим формулы приведения
приведем к одинаковой функции из значит
отсюда
и 
,
как видим это уравнение не имеет решения,
т.к.
,
а
поэтому ответ:
.
Мы рассмотрели решения различных уравнений и видим, что в каждом случае надо творчески подходить к нахождению метода решения, что возможно при хорошем знании формул тригонометрии, алгебраических преобразованиях. Самостоятельно (карточки в шести вариантах) в объеме:
Приложение 1