1.5 Определение предела возможной погрешности выборки или доверительного интервала результатов измерений для определенной вероятности (δх)

; где: – табличная величина, соответствующая заданной доверительной вероятности (Р), с которой будут гарантированы оценки n-ой совокупности по данным выборочного обследования (критерий Стьюдента). Этот критерий находится по таблице Приложения 1 для заданной доверительной вероятности и данной выборки. Данная величина (Δ_Х) показывает надежность результатов серии измерений того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал.

В большинстве случаев при исследовании качества продукции или товаров доверительная вероятность принимается равной 0,95 и реже 0,99.

В имеющемся примере для сравнения доверительных интервалов определим доверительную погрешность при различных значениях доверительной вероятности: Р=0,90; Р=0,95 и Р=0,99.

В Приложении 1 находим значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы d.f.=n-1=9: для ;

для ;

для .

Предел возможной погрешности результатов измерений:

;

;

.

1.6 Построение доверительных интервалов

Доверительный интервал – интервал, в котором с заданной вероятностью находятся истинные значения X: или .

При записях среднего значения результата, среднего квадратического отклонения или его аналога необходимо придерживаться следующих правил: величина погрешности выражается одной или двумя значащими цифрами. Две значащие цифры удерживаются при особо точных измерениях и когда значащая цифра старшего разряда меньше 4. В промежуточных вычислениях сохраняется на одну значащую цифру больше. Величина среднего результата должна оканчиваться результатом, которым начинается погрешность. В приведенном выше примере: .

Доверительный интервал 10,16±0,06 соответствующий доверительной вероятности Р=0,90 или 10,10≤Х≤10,22, т.е. в 90 % случаев истинное значение измеряемой величины Х находится в пределах от 10,10 до 10,22 А, а в 10 % случаев значение Х окажется за этими пределами и т.д.

Таким образом, чтобы охарактеризовать значение измеряемой величины, необходимо знать: усредненное значение, среднеквадратическое отклонение, объем выборки и доверительную вероятность.

Вышеприведенные расчеты показывают, что большей доверительной вероятности (0,99>0,90) при одинаковой выборке соответствует большее значение доверительной погрешности ( ) и, следовательно, больший доверительный интервал (интервал 10,06↔10,26 при P_0,99 больше интервала 10,10↔10,22 при Р_0,90).

1.7 Проверка результатов эксперимента на наличие грубых погрешностей

При статистической обработке полученных результатов наблюдений для нахождения результатов измерений и границ его погрешности предварительно необходимо убедиться в том, что отсутствуют результаты измерений, сильно отличающиеся от остальных, или убедиться в том, что результаты не содержат грубых погрешностей. Эта операция необходима для определения характера эмпирического распределения.

Задача решается статистическими методами, основанными, на том, что распределение, к которому относится рассматриваемая группа наблюдений, можно считать нормальным. Для этого рассчитываются границы допустимых максимальных и минимальных значений при n наблюдениях. Были составлены таблицы q-процентных точек распределения максимальных по модулю отклонений результатов от их среднего значения.

Это распределение удобно для расчетов и приведено в Приложении 2. Чтобы провесить наличие грубой погрешности необходимо рассчитать: ,

где: и S принимают с учетом всех результатов измерений. Затем, выбрав уровень значимости q , по Приложению 2 находят значение t_Z, отвечающее этому уровню и числу наблюдений.

Если t>t_Z то X_i можно отбросить: вероятность появления наблюдений, дающего t>t_Z мала и равна принятому уровню значимости. С уменьшением q растет t_Z и условие выполняется труднее. По условиям нашего примера необходимо проверить, содержится ли грубая погрешность в представленном массиве данных: .

Принимаем q=l %, тогда по таблице Приложения 2 находим, что t_Z=2,62. Так t<t_Z, то наблюдение со значением 10,40 отбросить нельзя. На основании проведенных вычислений результаты опытов представляют в следующем виде:

Статистические характеристики	Обозначения	Сила тока, А
Среднее значение результата		10,16
Средняя квадратическая погрешность	S	0,094
Коэффициент вариации	V	0,9%
Доверительный интервал результата при Р0,95	X±S	10,16±0,07

Кроме этого определять ошибки и грубые погрешности возможно с использованием составного критерия или критерия χ² (Пирсона) [5, 6]. Обработку данных, полученных при выполнении различных измерений, возможно выполнять на ЭВМ с использованием библиотеки стандартных программ.