6.2. Краткие теоретические сведения.

Тема 1. Производные и дифференциалы функции одной переменной.

Приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента называется выражение .

Производной 1-ого порядка функции в точке называется конечный предел . Геометрический смысл производной состоит в том, что число равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке : , где - угол наклона касательной к оси прямоугольной декартовой системы координат .

Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Необходимым условием дифференцируемости в точке является непрерывность функции в данной точке.

Если функция непрерывна в точке и , то говорят, что в точке функция имеет бесконечную производную. В этом случае касательная к графику функции в точке перпендикулярна к оси .

Числа и называются, соответственно левой и правой производными функции в точке . Условие равносильно дифференцируемости функции в точке , при этом .

Любая элементарная функция дифференцируема во всякой внутренней точке естественной области определения функции , в которой аналитическое выражение её производной имеет смысл. Производная , рассматриваемая на множестве тех точек , где она существует, сама является функцией. Операция нахождения производной называется также дифференцированием функции .

Основные правила дифференцирования элементарных функций.

1. Если и дифференцируемые функции, - постоянная, то:

	,
	,

2. Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и имеет производную:

или кратко ..

Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т.е. .

Применение предварительного логарифмирования функции приводит к следующему, часто более простому, способу вычисления её производной: . Например, для степенно-показательной функции , где , - дифференцируемые функции:

.

Если дифференцируемая функция задана неявно уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения , линейного относительно , где -рассматривается как сложная функция переменной .

Если и -взаимно обратные дифференцируемые функции и , то справедлива формула: (правило дифференцирования обратной функции).

Если дифференцируемая функция задана параметрически: , , где , -дифференцируемые функции и , то справедлива формула: (правило дифференцирования функции заданной параметрически).

При дифференцировании сложных и обратных функций, а также функций заданных неявно и параметрически для производной используют обозначения типа там, где необходимо уточнить, по какой переменной ведётся дифференцирование.

Производной 2-ого порядка от функции называется производная от её первой производной и обозначается , т. е. . В общем производной порядка ( -ой производной) называется производная от -ой производной и обозначается , т.е. .Для производной используется также обозначение . Производная функции вычисляется её последовательным дифференцированием: , , , …, . Если функция задана параметрически, то её производные высших порядков находятся по формулам:

, ,….

Если функция дифференцируема в точке , то её приращение может быть представлено в виде:

, где при .

Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно часть приращения функции: . В частности, для функции имеем , т.е. дифференциал независимого переменного совпадает с приращением . Поэтому дифференциал функции записывается в виде . Форма записи первого дифференциала не изменится и в том случае, если переменная является функцией от новой независимой переменной (свойство инвариантности формы первого дифференциала).

Для функции одной переменной существование в точке её дифференциала и производной равносильны.

Дифференциалом 2-ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т. е. . В общем дифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. .

Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала функции справедлива формула .

Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:

, где .

Чем меньше значение , тем точнее приближённая формула.

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид: , а уравнение нормали - вид: . Углом между двумя кривыми и в точке их пересечения называется угол между касательными к этим кривым в точке , тангенс которого вычисляется по формуле: .