Тема 5. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных, их приложения.

5.1 Частной производной (1-ого порядка) функции в точке по переменной называется предел , если этот предел существует. Частную производную обозначают или .

Частные производные вычисляются по обычным правилам дифференцирования функции одной переменной, в предположении, что все аргументы функции, кроме аргумента , по которому берётся производная, постоянны.

Частными производными второго порядка функции называются частные производные от её частных производных первого порядка. При этом используются обозначения:

, ( ).

Производные ( ) называются смешанными. Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго. Для функции частные производные обозначаются:

, , , , , ,… или ,….

Если смешанные частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от порядка дифференцирования.

Полным приращением функции в точке , соответствующим приращениям аргументов называется разность .

Функция называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение может быть представлено в виде , где при , - числа, не зависящие от _.

Полным дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно часть полного приращения функции, равная , где .

Функция , обладающая в точке непрерывными частными производными, всегда имеет в этой точке полный дифференциал . Для функции дифференцируемость в точке равносильна существованию в этой точке её полного дифференциала.

Форма записи первого дифференциала не изменится и в том случае, если переменные являются функциями новых, независимых переменных (свойство инвариантности формы первого дифференциала).

Дифференциалом 2-ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т. е. . В общем дифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. .

Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала функции справедлива символическая формула , формально раскрываемая по биномиальному закону. Например, для функции справедливы формулы: , ,

а для функции - формулы: ,

.

Для функции -кратная дифференцируемость в точке равносильна существованию в этой точке её полного дифференциала -ого порядка .

Если функция раз дифференцируема в точке , то в этой точке значение любой смешанной частной производной -ого порядка не зависит от порядка дифференцирования.

Если функция дифференцируема раз в точке , то при имеет место формула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Пеано

,

где при . Частный случай формулы Тейлора в точке называется формулой Маклорена.

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид

,

а уравнение нормали – вид .

Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле: .

В частности, для функции по формуле: , где , . Чем меньше значение , тем точнее формула.

Если - дифференцируемая функция переменных , являющихся дифференцируемыми функциями независимой переменной : , то производная сложной функции вычисляется по формуле . Если совпадает с одним из аргументов, например , то производная , называемая «полной» производной функции по , вычисляется по формуле

.

Если - дифференцируемая функция переменных , являющихся дифференцируемыми функциями независимыx переменных : ,…, , то частные производные сложной функции вычисляются по формулам:

,

.

В частности, для функции справедливы формулы:

, где ;

, где ;

, , где , .