4. Наблюдения распределения времени жизни

Рис. 4.5 показывает пример наблюдаемых времен пребывания в системе местной телефонной станции. Время пребывания в системе состоит из времени сигнализации и в случае, если появляется ответ, дополняется время сеанса связи.

Рис. 6.2 показывает наблюдаемые времена между прибытиями входя­щих вызовов на транзитную телефонную станцию в течение одного часа.

С самого начала для теории телетрафика было характерно сильное взаимодействие с практикой и были превосходные возможности прово­дить измерения.

Эрланг (1920, [11]) извещает об измерениях, при которых был заре­гистрирован 2461 сеанс связи на телефонной станции в Копенгагене.

Пальм (1943 [79]) и теоретически и фактически анализировал изме­рения нагрузки. Он проводил объемные измерения в Швеции.

При помощи компьютерной технологии может быть собрано большое количество данных. Первая программа, управляющая компьютерным изме­рением, описана в (Iversen, 1973 [35]). Важность использования дискретных значений времени при наблюдении значений показана в лекции 15.

В. Болотин (1994, [7]) измерил и моделировал времена пребывания в телекоммуникационной системе.

Многочисленные измерения были проведены на компьютерных системах. В телефонных системах мы редко имеем коэффициенты формы больше, чем 6. При измерении нагрузки передачи данных наблюдаются коэффициенты формы больше, чем 100. Так обстоит дело, например, при передаче данных, когда мы передаем либо несколько символов, либо боль­шое количество данных. Чтобы описать эти данные, используются медленно убывающие распределения. Медленно сходящиеся распределения в строгом смысле - это функция, остаток распределения которой ведет себя согласно степенному закону, то есть

1- F(t) « Г^а, 0 < а < 2.

Распределение Парето (4.42) - медленно убывающее в строгом смысле. Иногда распределения, убывающие медленнее, чем экспоненциальное рас­пределение, классифицируются как медленно убывающие: например, рас­пределения гиперэкспоненциальное, Вейбулла, нормальное распределение.

В настоящее время выполнены большие измерения и проведено моделирование распределения, использующее самоподобные модели тра­фика (Jerkins & other, J 999 [51 ]). С этими распределениями мы будем иметь дело в следующих лекциях.

Краткие итоги

• Экспоненциальное распределение - самое важное распределение

времени в теории телетрафика.

• Экспоненциальное распределение имеет некоторые уникальные

характеристики, которые делают возможным его аналитическое

и практическое использование. Экспоненциальное распределение играет ключевую роль среди всех распределений времени «жизни».

• Экспоненциальное распределение характеризуется единственным параметром: интенсивностью или скоростью X. Самая фундаменталь­ная характеристика экспоненциального распределения — отсутствие памяти.

• Распределение остатка времени соединения связи не зависит от фак­тической продолжительности этого соединения и равно распределе­нию всего времени «жизни».

• Пусть две случайных переменные Х_х и Х₂ являются взаимно незави­симыми и экспоненциально распределенными с интенсивностями X_t и Х₂ соответственно. Новая случайная переменная X определяется как:

X = т\п{Х_иХг} .

Функция распределения X равна: р{Х < /} = 1 - _е^-(Х|+Х2)'.

• С помощью одного экспоненциального распределения (то есть одно­го параметра) мы не можем описать достаточно детально временные интервалы, поэтому придется использовать комбинацию двух или более экспоненциальных распределений.

• Пальма ввел два класса распределений: крутое и плоское. Крутое распределение соответствует набору последовательных, стохастиче­ских независимых экспоненциальных распределений, а плоское — параллельным экспоненциальным распределениям.

• Комбинируя крутое и плоское распределения, мы можем получить произвольно хорошее приближение для любой функции распределе­ния.

• Крутые распределения также называют гиперэкспоненциальными распределениями или обобщенными распределениями Эрланга с коэффициентом формы в интервале 1< е < 2.

• Плоское распределение — это обобщенная функция распределения, полученная свертыванием к экспоненциальных распределений.

• Гиперэкспоненциальные распределения могут быть получены ком­бинацией к параллельных экспоненциальных распределений, где вероятность выбора /-го распределения — р..

• Комбинируя крутые и плоские распределения, мы получаем общий класс распределений (распределения фазового типа) - распределе­ния Кокса, которые могут быть описаны с помощью экспоненци­

альной фазы в последовательном и параллельном случае (например, к х / матрицей).

• Если мы полагаем, что точка выбрана наугад в пределах временного интервала, подчиняющегося распределению Кокса, то вероятность, что эта точка — в пределах фазы /', равна:

^mi • г т /

—, i = l, 2,..., к. т

Если мы повторяем этот эксперимент у раз (независимо), то вероят­ность, что фаза / наступала у. раз, определяется с помощью мультино- минального распределения (полиномиальное распределение).

• Экспоненциальное распределение с интенсивностью X может быть представлено как два фазовых распределения Кокса, где первая фаза имеет интенсивность ц > X и вторая — фазовую интенсивность X.