Пример 5.1.4: Вызываемый абонент занят (в-Занят)

Когда на телефонной станции 10% абонентов заняты, то 20% попы­ток вызовов получают отказ из-за занятости В (вызываемый абонент занят). Это явление можно объяснить тем фактом, что половина абонен­тов является пассивной (то есть не делает никаких попыток вызова и не получает никаких вызовов), тогда как 20% остающихся абонентов заняты. G. Lind (1976 [73]) анализировал проблему исходя из предположений, что на каждого абонента в среднем приходится одно и то же число входящих и исходящих вызовов. Если средняя величина и коэффициент формы рас­пределения абонента - b и е, соответственно, то вероятность, что вызов — это попытка пройти к занятому абоненту - b • е.

2. Характеристики точечного процесса

Выше мы обсудили общую структуру точечных процессов. Для задан­ных приложений необходимо исследовать дальнейшие свойства. Ниже Рассматривается только числовое представление, но мы могли сделать то же самое, базируясь на представлении с помощью интервала.

1. Стационарность (однородность по времени)

Это свойство может быть определено как независимость распре­деления вероятности, описывающего точечный процесс от позиции на оси времени (момента времени). Следующее определение полезно для практики.

Определение: Для произвольного t₂ > 0 и каждого к > 0 вероятность поступления к заявок на отрезке [/,, t_l + t₁[ не зависит от то есть для всех t и к мы имеем:

p{N,_i+ll - N_h = к) = p{N_ll+t2+t- N_h+, = к} . (5.15)

Есть много других определений стационарности — некоторые из них более строгие, другие более слабые.

Стационарность может также быть представлена с помощью интер­вала, если поставить требование, что все X. независимы и тождественно распределены (IID).

Более слабое определение — это то, что все первые и вторые моменты второго (например, средняя величина и дисперсия) точечного процесса должны быть инвариантным относительно сдвига времени. Эрланг ввёл концепцию статистического равновесия, которое требует, чтобы произ­водные процесса по времени были нулевыми.

2. Независимость (отсутствие последействия)

Это свойство может быть выражено как требование, что будущая эволюция процесса зависит только от существующего состояния.

Определение: вероятность, что имеет место к событий (к являются целым числом и > 0), в промежутке [/,, t_{ +t₂ [ не зависит от событий, кото­рые были перед моментом

p{N,₂ - N_h = k\N_h - N,₀ = n} = p{N_h - N_h = к} (5.16)

Если это справедливо для любого t, то перед нами — марковский про­цесс: будущая эволюция зависит только от существующего состояния, но независима от того, как оно было получено. Это — отсутствие свойства памяти. Если это свойство справедливо только для некоторых точек (моментов времени), например, времени поступления заявки, то эти точки называются точками равновесия или точками регенерации. Процесс тогда имеет ограниченную память, и мы только должны записать послед­нюю точку регенерации.

Пример 5.2.1: Точки равновесия (точки регенерации)

Примеры точечного процесса с точками равновесия.

а) Пуассоновский процесс — как мы увидим в следующей лекции, без памяти, и все точки оси времени — точки равновесия.

б) Процесс сканирования, где сканирование делается с регулярным циклом с ограниченной памятью. Последний момент сканирования имеет полную информацию о процессе сканирования, и поэтому все точки сканирования — точки равновесия.

в) Если мы предположим, что вышеупомянутый Пуассоновский про­цесс — сканирующий процесс (например, исследует процессы посту­пления вызовов в компьютерной системе), то единственные точки равновесия в этом составном процессе - моменты сканирования.

г) Рассмотрим систему организации очереди с Пуассоновским пото­ком вызовов, постоянным временем обслуживания и одним обслу­живающим прибором. Число позиций при организации очереди может быть конечно или бесконечно. Пусть к моменту времени, когда начинается обслуживание, существует точечный процесс. Все временные интервалы, если система - простая, будут точками равно­весия. В течение периодов, где система занята, моменты времени ввода новых запросов на обслуживание зависят от того, когда начато обслуживание первого вызова в этом периоде занятости.