2. Вывод уравнений вероятностей состояния

Для одномерной диаграммы перехода состояний в большинстве случаев применяют подход на основе метода сечений. Из рисунка 7.1 мы получаем следующие уравнения равновесия:

1-р(0) = Ц-р(1),

Х-р( 1) = 2 ц-р(2),

X-p(i- 1) = /ц-p(i),

X-p(i) = (г+1)ц-/?(г' + 1).

Используя выражение р(0) и обозначая А= Vu. , получаем />(0) = р(0), р( 1) = ^-/>(0),

р( 2) = ^--/7(1) =

Из ограничения нормализации получаем /7(0):

1 = £/>(/)

= Р(0)-С^А,

р( 0) = е-',

Это распределение Пуассона

(7.6)

Число занятых каналов в случайный момент времени подчиняется Пуассоновскому распределению со средней величиной (6.17) и с дис­персией (6.18), равной А. Мы ранее показали, что число вызовов в фик­сированном временном интервале также подчиняется Пуассоновскому распределению (6.16). Таким образом, Пуассоновское распределение справедливо и для времени, и для пространства. Мы, конечно, получили бы то же самое решение, используя уравнения узла.

3. Характеристики нагрузки Пуассоновского распределения

С точки зрения измерения нагрузки, система с бесконечным числом линий не очень интересна. Просмотрим важные характеристики нагрузки системы с потерями.

Потери по времени Е = 0 ⁰

Потери по вызовам В = О

00

Обслуженная нагрузка Y = / ■ p(i) = А,

i=1

Потерянная нагрузка А₍ = А - 7 = 0,

Потери по нагрузке С = О

Нагрузка, которая обслужена /-ой линией, принимающей последова­тельную нагрузку, дается позже в (7.14).

Пиковость Z определяется как отношение между дисперсией и сред­ней величиной распределения вероятностей состояния.

Для Пуассоновского распределения мы находим (6.17) и (6.18):

Пиковость имеет размерность [число каналов] и отличается от коэф­фициента вариации, который не имеет никакого измерения (3.9). Продолжительность состояния [/]

В состоянии [/] процесс имеет полную интенсивность (Х + /ц). Поэтому время до первого перехода (переход из состояния / либо к /+1, либо к /-1) — распределено по экспоненте (секция 4.1.1):

/Д0 = (Х+/ц)е-^(л+(»', t> 0.

Пример 7.2.1: Протокол простая алохАа

В примере 6.2.2 мы рассматривали протокол синхронная (сегменти­рованная) АЛОХАа, где оси времени были разделены на слоты времени. Мы теперь рассматриваем тот же самый протокол в непрерывное время. Предположим, что пакеты прибывают согласно Пуассоновскому процес­су и что они имеют постоянную длину h. Система соответствует случаю нагрузки, заканчивающемуся Пуассоновским распределением, которое также является справедливым для постоянных времен занятия (сек­ция 7.2). Вероятности состояния отображаются Пуассоновским распре­делением (7.6), где А = \И. Пакет передается правильно, если: (а) система находится в состоянии [0] во время прибытия и (б) никакие другие пакеты не поступают в течение времени обслуживания И. Мы находим:

Pcorrect = Р(0) • = е~^2А ■

Переданная правильно нагрузка, таким образом, получается:

^ correct ~ А ' Рcorrect — А • е

Это — соотношение оси времени, при эффективном использовании оно имеет оптимум для h = А= 1/2> ^гД^е производная относительно А рав­няется нулю:

г) А

correct _=е~2Л .₍i_2 А),

оА

max {A correct) = 2~ ^{= 0Л839}- ⁽⁷'⁸⁾

Мы, таким образом, получаем, что максимальное использование равно 0.1839, когда предложение равно 0.5 Эрл. Это — половина значения, которое мы получили для системы, использующей слоты в синхронных спутниковых передатчиках. Сравнение различных моделей АЛОХА уже было сделано на рис.6.4.