4. Средние времена ожидания

Здесь представляют интерес две характеристики:

• среднее время ожидания Wдля всех клиентов;

• среднее времени ожидания w для клиентов, для которых время ожидания имеет положительное значение.

Первая является индикатором уровня обслуживания целой системы, тогда как вторая относится к задержанным вызовам.

Математические ожидания времени будут равны математическим ожиданиям по вызовам из-за свойства PASTA.

Среднее время ожидания для всех вызовов

Формула Литла говорит, что средняя длина очереди равна интенсив­ности прибытия, умноженной на среднее время ожидания:

L_n = XW_n (12.14)

где L_n = Ь_п(А) и W_n= W_n(A). Рассматривая процесс поступления вызовов, из (12.12) мы имеем:

X X ⁷ п-А

Поскольку А = Xs, где s — среднее время обслуживания, мы имеем:

W_n= Е₂,_П(А)-^—. (12.15)

п-А

Среднее время ожидания для задержанных вызовов

Полное время ожидания является постоянным и может быть вычис­лено либо в среднем по всем клиентам (W), либо только по вызовам, для которых времена ожидания (w_n) имеют положительные значения (3.20):

W_n = w„ • Ег,_п (А), (12.16)

=

п-А

(12.17)

Пример 12.2.1: Система организации очереди с одним обслуживающим прибором (М/М/1)

Эта система наиболее часто упоминается в литературе. Вероятности состояния (12.2) определяются рядом геометрической прогрессии:

/»(«‘) = (1 -А)-Л\ i = 0,1,2,, (12.18)

поскольку/? (0) = 1 —А. Вероятность задержки равна:

Е_2Л(Л)= А.

Средняя длина очереди L_n (12.12) и среднее время ожидания для всех вызовов Ж (12.15):

L, = 02.19)

W, = —. <12.20)

1 — А

С помощью уравнений 12.12, 12.14, 12.17 мы можем установить, что увеличение нагрузки из-за большего количества вызовов лучше, чем увеличение нагрузки из-за более длинного времени обслуживания,

поскольку увеличение времени обслуживания увеличивает величину всех показателей. Поэтому важно, чтобы времена обслуживания системы не увеличивались в момент перегрузки.

Пример 12.2.2: Среднее время ожидания, когда А -> О

Заметьте, что если А—> 0, мы получаем w_n= s/n (12.17). Если клиент ожидает (что редко случается, когда А-> 0), то этот клиент будет един­ственным в очереди. Клиент должен ждать, пока сервер освободится. Это случается в конце экспоненциально распределенного временного интервала со средней величиной s/n. Поэтому w_n никогда не может быть меньше, чем s/n.

5. Функция'увеличения для м/м/п

Предельное увеличение нагрузки, которую может обслуживать систе­ма, когда мы дополняем число обслуживающих приборов, может быть выражено несколькими способами. Уменьшение отношения нагрузки канала к полной нагрузке (пропорционально числу всех вызовов от кли­ентов) определяется как:

F_2>n(A)= А {Е₂,_п(А)- E₂,_n+i(A)} . (12.21)

Уменьшение средней длины очереди (пропорционально нагрузке, которую обслуживают места ожидания) определяется формулой Литла (12.14):

FlAA) = L„(A)~ L_n+1(A)

= A{W„(A)- IV„_+l(A)j , (12.22)

где W (A) — среднее время ожидания для всех вызовов, когда предложен­ная нагрузка и число обслуживающих приборов - п (12.15). Равенства (12.21) и (12.22) сведены в таблицу в Принципе Мо (Jensen, 1950 [50]) и могут быть легко рассчитаны с помощью калькулятора или компьютера.