1. Время пребывания в системе в случае одного обслуживающего прибора

Когда имеется только один обслуживающий прибор, вероятно­сти состояния (12.2) представляются рядом геометрической прогрессии р(0 = (1 -A)' xAi( 12.18) для всех i > 0. Каждый вызов занимает экспоненци­ально распределенный временной интервал с интенсивностью А. в каждом состоянии. Вызов, который поступает в систему в состоянии [/], должен остаться в системе, интервал времени распределен по закону Эрланга — (г+1). Поэтому время пребывания в системе (время ожидания + время обслуживания), которое также называется временем реакции, является экс­поненциально распределенным с интенсивностью (д-А). (см. рис. 4.9):

F(t) = 1 - е~^(ц ~^Я)', р>Х, 1> 0. (12.33)

Это идентично распределению времени ожидания задержанных вызовов. Среднее время пребывания может быть получено непосред­ственно, используя W_] из (12.20) и среднее время обслуживания s:

As ,

т = W\ + s = - + s,

1. - A

_{m =} ^ 1 (12.34)

1 - А ц - X

где (j, = 1/s — скорость обслуживания. Заметим, что среднее время пре­бывания в системе равно среднему времени ожидания для задержанных клиентов (12.17).

4. Модель восстановления машин (модель Пальма)

Эта модель принадлежит классу циклических систем организации очереди и соответствует чистой системе с ожиданием с ограниченным числом клиентов (смотрите распределение Энгсета для случая систем с потерями).

Первым в 1933 г. эту модель рассмотрел Гнеденко и в 1934 г. опубли­ковал статью. Метод стал широко известен, когда в 1947 г. С. Пальм издал статью [80] с теоретическим анализом распределения трудовых ресурсов,

Плотность распределения

Рисунок 12.4. Плотность распределения для распределения времени ожидания при дисциплинах организации очереди FCFS, LCFS1 и SIRO (случайная). Во всех трех случаях среднее время ожидания для задержанных вызовов - 5 единиц времени. Коэффициент формы - 2 для FCFS, 3.33 — для LCFS и 10 — для SIRO. Число обслуживающих приборов — 10, и предложенная нагрузка — 8 Эрл. Среднее время обслуживания s= 10 единиц времени

обслуживающих автоматы. Множество S машин, которые обычно работают автоматически, обслуживается п ремонтниками. Машины могут сломать­ся, и тогда понадобится ремонтник, чтобы запустить их в работу снова. Проблема состоит в том, чтобы определить число ремонтников в зависи­мости от числа машин так, чтобы общие стоимости были минимизирова­ны (по-другому это называется «оптимизированная прибыль»). Машины могут быть, например, текстильными машинами, которые останавли­ваются, когда заканчивается нить; ремонтники тогда должны заменить пустую бобину машины полной.

Эту модель восстановления машин, или модель взаимного влияния машин, рассматривал Feller (1950 [27]). Модель соответствует организации очереди в простой закрытой сети и успешно применяется, чтобы решить технические проблемы нагрузки в компьютерных системах. В системе обо­значений Кендалла (лекция 13) система организации очереди обозначается M/M/n/S, где S — число клиентов и п — число обслуживающих приборов.

Модель широко применяется на практике. В сети машины соот­ветствуют вызовам, тогда как «ремонтники» предстают обслуживающими приборами, а «ремонтник» представляется компьютером, управляющим терминалами. В компьютерной си стеме машина может соответствовать программам, хранящимся на диске, а ремонтники представляют каналы ввода-вывода (ввод-вывод). Далее мы рассмотрим систему компьютерных терминалов, как основу для развития теории.