1.3. Тест рангової кореляції Спірмена

Це найпростіший тест, який можна використовувати як до малих, так і до великих вибірок. Спочатку запишемо коефіцієнт рангової кореляції Спірмена:

де – різниця між рангами, що приписуються двом характеристикам і-го об'єкту;

п – кількість об'єктів, що ранжуються.

Наведений коефіцієнт рангової кореляції може використовуватись для визначення гетероскедастичності таким чином.

Припустимо, .

Етап 1. Побудувати регресію для даних у та х і розрахувати відхилення е_і.

Етап 2. Нехтуючи знаком е_і, тобто беручи абсолютні значення | е_і |, ранжуємо | е_і | та х_і у зростаючому чи спадному порядку і підрахуємо коефіцієнт рангової кореляції Спірмена.

Етап 3. Перевіряємо значимість отриманого коефіцієнта рангової кореляції за t-критерієм Ст'юдента. Для цього побудуємо t-статистику:

,

де п – кількість спостережень та df = (п - 2) – кількість ступенів вільності. При даних ступенях вільності за таблицями Ст'юдента знаходимо t_кр. Якщо розраховане значення перевищує t_кр (t > t_кр), це підтверджує гіпотезу про гетероскедастичність. Якщо t < t_кр , тоді в регресійній моделі правильним є припущення про гомоскедастичність.

1.4. Трансформування початкової моделі

Розглянемо питання усунення гетероскедастичності трансформуванням початкової моделі.

Припустимо, що за статистичними даними побудовано початкову регресійну модель і на базі будь-якого тесту встановлено наявність гетероскедастичності:

Для усунення гетероскедастичності початкову модель змінюють (трансформують) так, щоб помилки мали сталу дисперсію:

Трансформація моделі зводиться до зміни початкової форми моделі методом, який залежить від специфічної форми гетероскедастичності, тобто від форми залежності між дисперсіями залишків і значеннями незалежних змінних:

Розглянемо можливі випадки трансформації моделі на прикладі простої лінійної регресії. Нехай початкова модель де компоненти випадкового вектора и гетероскедастичні, але відповідають іншим класичним припущенням лінійної регресії.

Розглянемо такі випадки.

Випадок 1. Припустимо, що гетероскедастичність має форму

де k = const (тобто дисперсія залишків зростає пропорційно до х₂). Із припущення випливає

Це означає, що трансформація моделі полягає в діленні початкової моделі.

Отже, трансформована модель має вигляд

Зазначимо, що параметр при змінній у трансформованій моделі є перетином (вільним членом) початкової моделі, тоді як перетин трансформованої моделі є нахилом початкової.

Отже, нова випадкова величина моделі має скінченну сталу дисперсію. Таким чином, модель має гомоскедастичну випадкову змінну, що означає правомірність застосування класичного МНК для розрахунку невідомих параметрів трансформованої моделі.

Випадок 2. Припустимо, що гетероскедастичність має форму

де k = const (тобто дисперсія залишків зростає пропорційно до х). Із припущення випливає

Отже, трансформована модель має вигляд

Розглянемо Отже, для трансформованої моделі випадкова величина у гомоскедастична зі сталою дисперсією. Це означає, що, виконавши зазначене вище перетворення, ми виключили гетероскедастичність.

Випадок 3. Припустимо, що гетероскедастичність має форму

(дисперсія зростає пропорційно до квадрата лінійної функції від х). Із припущення випливає

Допустима трансформація полягає в діленні початкової моделі на

Отже, трансформована модель має вигляд

Розглянемо

Нова випадкова величина є гомоскедастичною із сталою дисперсією k₂.

Загальний випадок. Припустимо, що гетероскедастичність має форму

Зазначимо, що така трансформація еквівалентна застосуванню зваженого методу найменших квадратів (ЗМНК), який є особливим випадком узагальненого методу найменших квадратів (УМНК). Суть ЗМНК полягає в мінімізації зваженої суми квадратичних відхилень:

Зазначимо також, що ЗМНК, застосований до початкової моделі, дає такі самі результати, що й МНК, застосований до трансформованої моделі.

Твердження. Оцінки трансформованої моделі мають меншу дисперсію (ефективніші), ніж оцінки, отримані із застосуванням МНК до початкової моделі.

Нарешті, потрібно пам’ятати, що гетероскедастичність може існувати за рахунок неврахованих факторів (поганої специфікації моделі). У цьому разі можливим рішенням є включення неврахованих факторів у модель. Сліпе застосування трансформації (без аналізу причин гетероскедастичності) зробить гомоскедастичною випадкову змінну, однак оцінки параметрів залишаться неправильними через неврахування важливих факторів.

Оцінювання параметрів багатофакторної регресійної моделі на основі узагальненого методу найменших квадратів

Розглянемо детальніше загальний випадок оцінювання параметрів моделі з гетероскедастичними залишками.

Запишемо узагальнену багатофакторну регресійну модель у мат-ричному вигляді де у вектор-стовпець залежної змінної розмірності (n х 1);

X – матриця незалежних змінних розмірності (nх(m + 1));

a – вектор-стовпець невідомих параметрів розмірності ((m + 1) х 1);

u вектор-стовпець випадкових помилок розмірності (n х 1).

Нехай виконуються всі припущення класичної лінійної багатофакторної моделі, за винятком припущення про гомоскедастичність похибок. Якщо до моделі застосувати звичайний МНК, отримана оцінка параметрів буде незміщеною, обгрунтованою, однак не ефективною (не має найменшої дисперсії серед незміщених оцінок).

За наявності гетероскедастичності для оцінювання параметрів моделі доцільно застосувати узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена), вектор оцінювання якого має вигляд Вектор a містить незміщену лінійну оцінку параметрів моделі, яка має найменшу дисперсію і матрицю коваріацій: