1. 1. (u ± v)′ = u′ ± v′

2. 2. (u · v)′ = u′·v + u·v′

3. 3. (c · u)′ = c · u′

4. 4. ( u(k·x + b) )′ = k · u′(k·x+b), де k, b – константи

5. 5. (u ⁄ v)′ = ( u′·v - u·v′ ) ⁄ v²

6. Диференціал функції

7.  

8. Нехай функція   має в даній точці   скінченну похідну  . Тоді  , де  , якщо  . Звідки

9.  

10. .

11.  

12. Якщо    нескінченно малий приріст, то доданок   є нескінченно малим вищого порядку, ніж доданок   і якщо  , то   і   нескінченно малі одного порядку.

13.  

14. Означення 3.3. Якщо функція   має похідну   в точці  , то вираз   називаєтьсядиференціалом (differential) функції в цій точці і позначається символом  . Тобто,

15.  

16. .                                (3.10)

17.  

18. Зауваження. Диференціал функції   в даній точці є головною лінійною частиною приросту функції, пропорційною приросту аргументу з коефіцієнтом пропорційності  :

19.  

20. .

21.  

22. Диференціал незалежної змінної ототожнюється з її приростом, тобто

23.  

24. .

25.  

26. Для будь-якої диференційовної в точці х функції   формулу (3.10) можна записати так:

27. .

28. Звідки отримаємо, що

29. ,                                            (*)

30.  

31. тобто похідну можна розглядати як відношення двох диференціалів.

 

Основні правила диференціювання.

Теорема 1. Похідна сталої дорівнює нулю.

y = c, то y΄ = 0

Теорема 2. Похідна алгебраїчної суми скінченого числа диференційованих функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій

 

Теорема 3 Похідна добутку двох диференційованих функцій дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого:

 

Теорема 4 Сталий множник виносимо за знак похідної

 

(cu)΄ = cu΄, де c = const

Теорема 5 Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовані функції (знаменник не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різниця добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат знаменника початкового дробу

 

 

 

Зауваження: Похідна від функції,            де с = const:

 

Похідні від основних елементарних функцій.

Наприклад:

1.     

1) Перша важлива границя

Розглянемо функцію  . Значення цієї функції при   не існує, але  .

Теорема 2.1. Справедлива рівність

 

.                                         (2.4)

 

Границю (2.4) називають першою важливою (першою чудовою) границею.

Друга важлива границя

Теорема 2.2. Функція   при   має границею число  , тобто

.                                          (2.5)

 

Границю (2.5) називають другою важливою (другою чудовою) границею.

(Зауважимо, що числом   прийнято позначати границю такої збіжної послідовності:  , це число є ірраціональним (irrational)  .)

Похідні та диференціали вищих порядків

У деяких задачах виникає необхідність обчислити похідну від функції, яка є похідною іншої функції. Такі похідні називають похідними вищих порядків.

Нехай функція   задана і диференційовна на деякому проміжку  . Якщо існує границя

,

то її називають другою похідною функції   у точці   і позначають символом   або  . За означенням

 або  .

Аналогічно  ,  .

Приклад 1. Обчислити похідні вищих порядків функції  .

Розв’язання. Ця функція має першу похідну

, другу похідну  , третю –  . Усі інші похідні порядку   дорівнюють нулю.

Нехай функція   диференційовна на деякому проміжку. Тоді її перший диференціал

– деяка функція від  .

Другим диференціалом   називають диференціал від першого диференціала:

Взагалі, п-м диференціалом   називають диференціал від диференціала  -го порядку:

.

Наведемо основні теореми диференціального числення.

Теорема Ферма. Нехай функція  неперервна в інтервалі   і набуває свого найбільшого або найменшого значення у деякій точці с цього інтервалу. Тоді , якщо в точці с існує похідна  , то  .

Теорема Ролля. Якщо функція неперервна на відрізку  , диференційовна в інтервалі   і на кінцях відрізка набуває однакових значень  , то знайдеться хоча б одна точка  , в якій  .

Теорема Коші. Якщо функції   і  неперервні на відрізку  , диференційовні в інтервалі  , причому  ,  , то існує така точка  , що

 .

Теорема Лагранжа. Якщо функція неперервна на відрізку  , диференційовна в інтервалі  , то всередині цього інтервалу знайдеться хоча б одна точка  , в якій

.

Цю формулу називають формулою Лагранжа або формулою скінченних приростів, оскільки вона виражає точне значення приросту функції   через похідну в деякій точці с інтервалу  і скінченне значення приросту аргументу  .

Вкажемо правило обчислення границь, в якому застосовують поняття похідної – правило Лопіталя.

Нехай функції   і   визначені та диференційовні в околі точки  , за винятком, можливо, самої точки , причому

,

і в цьому околі  . Тоді якщо існує границя відношення похідних  , то існує границя відношення функцій   і ці границі рівні між собою:

.

Нехай функції   і   визначені та диференційовні в околі точки   і в цьому околі

, .

Тоді якщо існує границя  , то існує границя   і  .

Зауваження. Якщо похідні   і   задовольняють ті самі умови, що ї функції   і  , то правило Лопіталя можна застосовувути ще раз. При цьому дістаємо

.

Приклад 2. Обчислити границі а)  ; б)  .

Розв’язання. а) Маємо невизначеність  , тому за правилом Лопіталя  .

б) Маємо невизначеність  , тому за правилом Лопіталя

.