Безпосереднє інтегрування[ред. • ред. Код]
Використовується таблиця інтегралів.
Метод підстановки (заміни змінної)[ред. • ред. Код]
Цей метод містить два прийоми.
a)
Якщо для знаходження заданого інтеграла
∫f(x)dx зробити підстановку x = φ(t), тоді
має місце рівність: 
Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба, щоб функція х - φ (t) мала обернену t = ψ(х).
b)
Якщо зробити заміну змінної, тобто t = φ
(х) тоді має місце рівність: 
Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до змінної х, використовуючи рівність t = φ (х).
Метод інтегрування частинами[ред. • ред. Код]
Докладніше: Інтегрування частинами
Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій, і хоча би одна з них є трансцендентною (не степеневою).
Нехай
u та v деякі функції х, тобто 
.
Розглянемо диференціал добутку цих функцій.
Інтегруючи
обидві частини рівності, одержимо 
Звідси, враховуючи властивість невизначеного інтеграла, маємо
Отже,
одержали формулу 
яку називають формулою інтегрування частинами.
Ця
формула дозволяє звести пошук
інтеграла 
до
пошуку інтеграла 
.
Якщо вдало обрати u та dv, інтеграл може
бути табличним або простішим, ніж
початковий інтеграл
Інтегрування раціональних дробів[ред. • ред. Код]
Невизначений інтеграл будь-якого раціонального дробу на будь-якому проміжку, де знаменник дробу не обертається в нуль, існує і подається через елементарні функції, а саме: він є алгебраїчною сумою суперпозиції раціональних дробів, арктангенсів і раціональних логарифмів.'
Сам метод полягає в розкладанні раціонального дробу на суму найпростіших.
Усякий
правильний раціональний дріб 
,
знаменник якого розкладено на множники
можна
подати (лише єдиним способом) у виді
наступної суми найпростіших дробів:
де 
-
деякі дійсні коефіцієнти. Зазвичай
невідомі коефіцієнти шукають за допомогою
методу невизначених коефіцієнтів.
Інтегрування раціональних дробів. Методика
Інтегрування раціональних дробів займає важливу частину курсу вищої математики. Практична сторона даної теми багата на різноманітні обчислення. Нагадаємо, що дріб
називається
раціональним, якщо чисельник 
та
знаменник 
є
многочлени.
Раціональні
дроби поділяють на правильні та
неправильні. Дріб називається правильним,
якщо найвищий показник степеня
чисельника 
менший
від найвищого степеня знаменника
.
У іншому випадку дріб
називається неправильним. Інтегруються
лише правильні дроби. Неправильний
раціональний дріб у якого степінь
чисельника вищий або дорівнює степені
знаменника можна діленням чисельника
на знаменник звести до cуми многочлена
та правильного раціонального дробу.
Найпростішими раціональними дробами називають наступні
І. 
ІІ. 
ІІІ. 
ІV. 
Умова
означає,
що квадратне рівняння 
не
має дійсних коренів. В іншому випадку
його можна розкласти на множники і
звести до вигляду 1.
Для всіх чотирьох груп існують правила зведення до табличного вигляду і інтегрування. Інтеграли І та ІІ типу знаходять методом безпосереднього інтегрування
І. 
ІІ. 
При інтегруванні найпростішого дробу ІІІ-го типу потрібно виконати наступні перетворення.
Інтеграл від найпростішого дробу IV-го типу шляхом повторного інтегрування частинами можна звести до інтегралу від найпростішого дробу III-го типу. Інтеграл від дробово-раціональної функції
де
–
правильний дріб, можна звести методом
розкладу на доданки, які легко інтегруються
за основними формулами інтегрування.
Усі правильні раціональні дроби
розкладаються на суму найпростіших
раціональних дробів, коефіцієнти яких
можна знайти методом невизначених
коефіцієнтів. Кінцевий вигляд найпростіших
дробів залежить від коренів знаменника
та
їх кратності.
Можливі наступні варіанти:
1. Корені
знаменника – дійсні та різні числа,
тобто 
Тоді дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го типу
де 
–
невідомі коефіцієнти. Їх знаходять
наступним чином: доданки справа зводять
до спільного знаменника, а потім
прирівнюють отримані коефіцієнти при
степенях 
чисельника
з тими, які містить поліном 
2. Корені знаменника дійсні числа, деякі з них кратні
В цьому випадку правильний дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го та ІІ-го типів:
Невідомі
коефіцієнти 
шукаємо
аналогічно, як описано для 1 варіанту.
3. Деякі корені знаменника дійсні числа, деякі з них кратні. Крім того знаменник містить один або декілька квадратних тричленів, які не розкладаються на множники
Тоді дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го, ІІ-го та ІІІ-го типів
Тут 
–
невідомі коефіцієнти, які шукають за
схемою поданою вище.
4. Цей
випадок відрізняється від попереднього
тим, що в знаменнику дробів квадратні
тричлени бувають в степенях 
В
таких випадках можемо отримати суму
найпростіших дробів І-ІV -го типів. Вони
найскладніші, але наведеними вище
методами їх розв'язування можливе.