Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывных функций основывается на следующих свойствах этих функций:
если в некотором интервале (конечном
или бесконечном) функция
непрерывна и имеет только один экстремум
и если это максимум (минимум), то он будет
наибольшим (наименьшим) значением
функции в этом интервале;
если функция
непрерывна на некотором отрезке
,
то она обязательно имеет на этом отрезке
наибольшее и наименьшее значения.
Эти значения достигаются или в точках
экстремума, лежащих внутри отрезка, или
на границах этого отрезка.
Таким образом, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке следует:
1. Найти критические точки, лежащие внутри отрезка и вычислить значения функции в этих точках.
2. Вычислить значения функции на концах
отрезка, т.е.
и
.
3. Из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее
значения функции
на отрезке
.
Решение:
1. Найдем критические точки функции
при
Других критических точек внутри данного
отрезка нет.
2. Вычислим значения функции на концах
отрезка:
3. Сравним полученные значения:
Таким образом, наибольшее значение
функции
а наименьшее –
Контрольная работа №3 по теме
«Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной»
3.1 Найти пределы:
3.1.1а)
б)
в)
г)
д)
е)
3.1.2
а)
б)
в)
г)
д)
е)
3.1.3 а)
б)
в)
г)
д)
е)
3.1.4
а)
б)
в)
г)
д)
е)
3.1.5 а)
б)
в)
г)
д)
е)
3.1.6 а)
б)
в)
г)
д)
е)
3.1.7 а)
б)
в)
г)
д)
е)
3.1.8 а)
б)
в)
г)
д)
е)
3.1.9
а)
б)
в)
г)
д)
е)
3.1.10 а)
б)
в)
г)
д)
е)
3.2. Найти производные
3.2.1.
а)
б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
;
ж)
;
3.2.2.
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
;
ж)
;
3.2.3.
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
;
ж)
;
3.2.4.
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
;
ж)
;
3.2.5.
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
;
ж)
;
3.2.6.
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
;
ж)
;
3.2.7.
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
;
ж)
;
3.2.8.
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
;
ж)
;
3.2.9.
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
;
ж)
;
3.2.10. а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
;
ж)
;
3.3. Найти производную
3.3.1.
;
3.3.2.
;
3.3.3.
;
3.3.4.
;
3.3.5.
; 3.3.6. 
;
3.3.7.
; 3.3.8. 
;
3.3.9.
; 3.3.10. 
;
3.4. Найти производную
3.4.1.
;
3.4.2. 
;
3.4.3.
; 3.4.4. 
;
3.4.5.
; 3.4.6. 
;
3.4.7.
; 3.4.8. 
;
3.4.9.
; 3.4.10. 
;
3.5. Найти производную
3.5.1.
; 3.5.2. 
;
3.5.3.
; 3.5.4. 
;
3.5.5.
; 3.5.6. 
;
3.5.7.
; 3.5.8. 
;
3.5.9.
; 3.5.10. 
;
3.6.1.
Записать уравнение касательной к линии
в точке с абсциссой
.
3.6.2.
Выяснить, в какой точке кривой
касательная параллельна прямой
.
3.6.3.
Записать уравнение нормали к линии
в точке с абсциссой
.
3.6.4.
Выяснить, в какой точке кривой
касательная перпендикулярна прямой
.
3.6.5.
Найти, какой угол образует с осью обсцисс
касательная к параболе
в т.
.
3.6.6.
Записать уравнение касательной к кривой
в точке с ординатой
.
3.6.7.
Записать уравнение нормали к кривой
в точке с ординатой
.
3.6.8.
Определить угловой коэффициент
касательной к кривой
в точке
.
3.6.9.
В какой точке кривой
касательная перпендикулярна к прямой
.
3.6.10.Выяснить,
в какой точке кривой
касательная составляет с осью
угол
.
3.7.1.
Траектория движения тела – кубическая
парабола
.
В каких ее точках скорость возрастания
абсциссы и ординаты одинаковы?
3.7.2.
Закон движения материальной точки
.
В какой момент времени скорость ее
движения будет равна 2 м/с?
3.7.3.
Тело движется по прямой
по закону
.
Определить скорость и ускорение движения
тела.
3.7.4.
Тело, брошенное вверх, движется по закону
.
В какой момент времени скорость тела
станет равна нулю? Найти наибольшую
высоту подъема тела.
3.7.5.
Скорость тела, движущегося прямолинейно,
определяется формулой
.
Какое ускорение будет иметь тело через
4 с? После начала движения?
3.7.6.
Тело массой 100 кг движется прямолинейно
по закону
.
Определить кинетическую энергию
тела через 5 с после начала движения.
3.7.7.
Заряд, проходящий через проводник,
начиная с момента времени
,
определяется формулой
.
В какие моменты времени сила тока в
проводнике будет равна нулю?
3.7.8.
Тело массой 6 т движется прямолинейно
по закону. Требуется вычислить кинетическую
энергию
тела через 1 с после начала движения.
3.7.9.
Зависимость пути от времени при
прямолинейном движении точки
.
Найти скорость и ускорение через 1
секунду после начала движения.
3.7.10.Тело
движется по прямой
согласно закону
.
Определить скорость и ускорение движения.
В какие моменты тело меняет направление
движения?
3.8. Найти дифференциал функции:
3.8.1.
;
3.8.2. 
;
3.8.3.
; 3.8.4. 
;
3.8.5.
; 3.8.6. 
;
3.8.7.
; 3.8.8. 
;
3.8.9.
; 3.8.10. 
;
3.9. Исследовать функцию и построить график
3.9.1.
;
3.9.2. 
;
3.9.3.
; 3.9.4. 
;
3.9.5.
; 3.9.6. 
;
3.9.7.
; 3.9.8. 
;
3.9.9.
; 3.9.10. 
;
3.10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
3.10.1.
;
3.10.2. 
;
3.10.3.
; 3.10.4. 
;
3.10.5.
; 3.10.6. 
;
3.10.7.
; 3.10.8. 
;
3.10.9.
;
3.10.10.
;