Середня гармонічна

При розрахунку середньої з обернених показників використовують середню гармонічну. Формула середньої гармонічної зваженої:

,

де Z_j = x_j f_j – обсяг значень ознаки.

У разі, коли осереднювана ознака є відношенням між логічно пов’язаними величинами (наприклад, відносна величина інтенсивності, структури тощо), постає питання про вибір виду середньої. Основою вибору є логічна формула показника.

Отже, формула середньої – це лише математична модель логічної формули показника. Основний методологічний принцип вибору виду середньої – забезпечити логіко-змістовну суть показника. Формально цей принцип можна записати так:

Показники	Прямі	Обернені
Первинні	Проста арифметична	Проста гармонічна
Похідні	Зважена	Зважена гармонічна

Розрахувати середню можна і в тому разі, коли окремі значення варіант не реєструються, а відомі лише підсумки.

Середня геометрична

Якщо визначальна властивість сукупності формується як добуток індивідуальних значень ознаки, використовується середня геометрична:

де П – символ добутку; x_і – відносні величини динаміки, виражені кратним відношенням j-го значення показника до попереднього (j–1)-го.

Коли часові інтервали не однакові, розрахунок виконують за формулою середньої геометричної зваженої:

,

де n_j – часовий інтервал, , m – кількість інтервалів.

Головною сферою застосування середньої квадратичної є вимірювання варіації.

5.2

Середні величини як узагальнені показники характеризують сукупність за варіаційною ознакою, вказують на їх типовий рівень у розрахунку на одиницю однорідної сукупності. Проте середня величина не пояснює, як групуються навколо неї окремі значення; чи лежать вони поблизу, чи, навпаки, істотно відхиляються від середньої. Коливання окремих значень варіантів характеризують показники варіації. Термін «варіація» походить від латинського «Vагіаtiо» – зміна, коливання, різниця. У статистиці під варіацією розуміють кількісні зміни ознаки в межах однорідної сукупності. У статистиці розроблено цілу систему показників варіації, які використовують для всебічної характеристики рядів розподілу і їх можна виражати як в абсолютних, так і відносних величинах.

У системі показників варіації найпростішим є показник розмаху варіації, який визначають як різницю між найбільшим і найменшим значенням варіантів:

.

В інтервальних рядах розподілу розмах варіації визначають як різницю між верхньою межею останнього та нижньою межею першого або як різницю між серединами інтервалів. Перевагою показника розмаху варіації є простота його розрахунку. Однак він не може повною мірою охарактеризувати варіацію ознаки, оскільки не враховує всіх значень ознаки, проміжних між максимальним та мінімальним значеннями. Не враховує він і частот. Особливість показника розмаху варіації полягає у тому, що він залежить лише від двох крайніх значень ознаки, які можуть виявитися не достатньо типовими. Розмах варіації відображає інколи випадкове, а не типове для даного ряду коливання. Зазначені недоліки розмаху варіації звужують область його практичного застосування. В основному він використовується для попередньої оцінки варіації. Тому необхідні інші показники варіації, які ґрунтуються на всіх значеннях ознаки в даній сукупності.

Більш досконалим показником вимірювання варіації є середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення, які усувають зазначені недоліки розмаху варіації.

Середнє лінійне відхилення являє собою середню арифметичну з абсолютних значень відхилень окремих варіант від середньої арифметичної:

(просте);

(зважене).

Прямі дужки означають, що абсолютні значення відхилень беруться по модулю, тобто підсумовування виконується без врахування знаків (плюс або мінус). Така умовність пояснюється тим, що оскільки сума відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої в першому ступені дорівнює нулю (нульова властивість середньої арифметичної),то для одержання суми всіх відхилень, відмінної від нуля, кожне відхилення слід брати як додатну величину.

Показник середнього лінійного відхилення більш обґрунтований порівняно з розмахом варіації. Він не залежить від випадкових коливань крайніх значень, оскільки спирається на всі значення ознаки, враховує всю суму відхилень індивідуальних варіантів від середньої арифметичної та частоти.

Однак і цей показник варіації має суттєві недоліки. В ньому не враховуються знаки (спрямованість) відхилень. Довільне відкидання алгебраїчних знаків відхилень призводить до того, що математичні властивості цього показника є далеко не елементарними, а це значно ускладнює використання середнього лінійного відхилення при розв'язанні задач, пов'язаних з імовірнісними розрахунками. Тому середнє лінійне відхилення використовується рідко.

Ступінь варіації об'єктивніше відображує показник середнього квадрата відхилення (дисперсія). Його обчислюють як середню арифметичну із суми квадратів відхилень окремих варіантів від їхньої середньої:

(дані не згруповані);

(дані згруповані).

Корінь квадратичний із середнього квадрата відхилень варіантів від їхньої середньої називають середнім квадратичним відхиленням. Середнє квадратичне відхилення буває просте і зважене:

(просте);

(зважене).

Середнє квадратичне відхилення є абсолютним виміром варіації, це означає, що порівнювати їх у варіаційних рядах різних явищ не можна. Змістовне значення середнього квадратичного відхилення таке ж саме, як і середнього лінійного відхилення. Воно показує, на скільки в середньому відхиляються індивідуальні значення варіант від їх середнього значення. Середнє квадратичне відхилення є критерієм надійності середньої. Чим воно менше, тим краще середня арифметична відображає всю досліджувану сукупність. Перевага середнього квадратичного відхилення порівняно з середнім лінійним відхиленням полягає у тому, що при розрахунку ніякого умовного припущення про підсумовування відхилень без врахування знаків не допускається, оскільки всі відхилення підносяться до квадрату. Середнє квадратичне відхилення – це стандартне відхилення. Воно як розмах варіації й середнє лінійне відхилення є величиною іменованою та виражається в тих самих одиницях вимірювання, що і варіанти досліджуваної ознаки і середня величина (ц, кг, грн., м, ц/га і т.д.). Дисперсія і середнє квадратичне відхилення широко застосовуються на практиці. Вони входять в більшість теорем, які є фундаментом математичної статистики. Крім того, дисперсія може бути розкладена на складові елементи, які дають змогу оцінити вплив різних факторів, що зумовлюють варіацію досліджуваної ознаки.

При порівнюванні ступеня варіації однієї і тієї ж ознаки в різних сукупностях використовують коефіцієнт варіації. Розраховується як відношення абсолютних характеристик варіації до середньої і виражається відсотками.

,

де σ – середнє квадратичне відхилення;

– середнє значення досліджуваної ознаки.

Варіація ознаки формується під дією різних чинників, серед яких можна відмітити випадкові та систематичні. Отже, варіація може бути випадковою, зумовлена дією випадкових причин, та систематичною – унаслідок дій постійних чинників.

Дисперсія, на відміну від інших характеристик варіації є адитивною величиною, тобто у структурованій сукупності. Яка поділена на групи за факторною ознакою х, дисперсія результативної ознаки у може розкладена на: дисперсію у кожній групі (внутрішньо групову) та дисперсію між групами (міжгрупову).

Загальна дисперсія характеризує загальну варіацію ознаки під впливом усіх умов і причин, що зумовили цю варіацію.

Групова (часткова) дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки в середині групи від середньої арифметичної відповідної групи, її можна обчислити як середню просту і як зважену.

Ця дисперсія відображає варіацію ознаки лише за рахунок умов і причин, що діють у середині групи. Середня з групових (часткових) дисперсій – це середня арифметична, зважена з групових дисперсій.

.

Міжгрупова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх від загальної середньої:

, де

δ – між групова дисперсія;

– середня кожної окремої групи;

– загальна середня всієї сукупності.

Міжгрупова дисперсія характеризує варіацію результативної ознаки за рахунок групувальної ознаки. Загальна дисперсія дорівнює сумі середньої з групових дисперсій та міжгрупової дисперсії:

Це співвідношення називають правилом додавання дисперсій.