Тема 7 Індекси

Програмні питання:

7.1. Суть і функції індексів

7.2. Методологічні основи побудови зведених індексів

7.3. Агрегатна форма індексів

7.4. Середньозважені індекси

7.5. Взаємозв’язки індексів

7.6. Індекси середніх величин

7.7. Територіальні індекси

7.1

Термін індекс (index) є синонімом певної узагальнюючої характеристики. Кожний індекс є співвідношенням двох значень показника, який індексується: оціночного (поточного) і взятого за базу порівняння. Тобто за статистичною природою індекс – це відносна величина, яка характеризує зміну соціально-економічного явища в часі чи просторі або ступінь відхилення значення показника від певного стандарту (нормативу, середньої). Форми вираження індексу: коефіцієнти, проценти, промілле.

Історично індекси створювались як інструмент вивчення динаміки споживчих цін. Ще на початку XVII ст. англійський купець Т. Ман доводив переваги торгівлі з Індією, порівнюючи вартість товарів, які ввозились в Англію з Індії і Туреччини (шовк-сирець, прянощі тощо), за цінами індійськими та турецькими. Поступово коло показників, що піддавалися індексному аналізу, розширювалось, а методи аналізу вдосконалювались.

Індекс, як і будь-який статистичний показник, поєднує в собі якісний та кількісний аспекти. Назва індексу відбиває соціально-економічний зміст показника, числове його значення – інтенсивність змін або ступінь відхилення.

Методика розрахунку (модель) індексу залежить від мети дослідження, статистичної природи показника, ступеня агрегованості інформації. Мета дослідження, зокрема, визначає функцію, яку виконує індекс у конкретному аналізі, та характер порівнянь.

Розрізняють дві функції індексів:

1) синтетичну, пов’язану з побудовою узагальнюючих характеристик динаміки чи просторових порівнянь;

2) аналітичну, спрямовану на вивчення закономірностей динаміки, взаємозв’язків між показниками, структурних зрушень.

Так, індексний факторний аналіз передбачає оцінку впливу факторів на динаміку показника, який індексується; індексні ряди є основою моніторингу динамічних соціально-економічних явищ, кон’юнктури ринку тощо.

Очевидно, що синтетична та аналітична функції індексів взаємозв’язані. Часто один і той самий індекс виконує обидві функції.

За характером порівнянь (у часі, просторі, з певним стандартом) індекси поділяються на динамічні, територіальні, міжгрупові. Динамічний індекс характеризує інтенсивність динаміки; при його розрахунку базою порівняння є одне з попередніх значень показника. База порівняння ідентифікується підрядковою позначкою «0», поточне значення показника – «1».

При просторових порівняннях визначається ступінь відхилення значень показника у просторі – між об’єктами, країнами, регіонами, які ідентифікуються певними літерами; вибір бази порівняння довільний. Міжгруповий індекс характеризує відхилення від певного стандарту (еталонного, максимального чи мінімального значення) або від середнього рівня по сукупності в цілому.

Визначальними ознаками інформаційної бази індексного аналізу є ступінь агрегованості та статистична природа показника. За ступенем агрегованості інформації індекси поділяються на індивідуальні та зведені. Вони позначаються відповідно символами i та I. Індивідуальні індекси характеризують співвідношення рівнів показника окремих елементів сукупності, зведені – певної множини елементів. У структурованій сукупності зведений індекс може бути груповим (субіндексом) або загальним (тотальним).

Показник, динаміку чи співвідношення якого характеризує індекс, називають індексованою величиною, йому надається певний символ. Наприклад, індивідуальний індекс фізичного обсягу продукції позначають , зведений індекс цін – . Символи p та q не випадкові, вони відповідають початковим літерам англійських слів price (ціна) та quantity (кількість).

Індивідуальний індекс — це відносна величина динаміки

або порівняння

.

Неодмінною умовою їх обчислення є порівнянність методики вимірювання чисельника та знаменника відношення, що являє собою індекс.

Щодо зведених індексів, то розрахунок кожного з них окремо передбачає вирішення низки методологічних питань. У підрозд. 7.2 розглядається методологія побудови зведених індексів цін і товарної маси, які вважаються спряженими.

7.2

Зведений індекс показує, як у середньому змінився показник по сукупності елементів. Основою побудови зведених індексів є агрегування, узагальнення інформації. Нехай за даними про ціни на товари (j = 1, 2, 3, ...) за два періоди (t = 0,1) необхідно визначити зведений індекс цін:

та .

Агрегування інформації для зведеного індексу цін можна здійснити трьома способами.

1. У вигляді відношення сум цін (індекс Дюто, 1735 р.):

Поділивши чисельник і знаменник на n, цей індекс можна подати як відношення середніх цін.

2. Як середню арифметичну з індивідуальних індексів цін (індекс Карлі, 1751 р.):

^.

3. Як середню геометричну з індивідуальних індексів (Джевон, 1863 р.):

.

Кожний з цих варіантів передбачає рівновагомість товарів у сукупності. Інакше зведений індекс неадекватно характеризуватиме сукупну зміну цін.

Отже, при розрахунку зведеного індексу кожному j-му елементу необхідно надати певну «вагу», яка б ураховувала його відносну значущість. Очевидно, що ваги повинні мати однакову розмірність. Кількості товару q_j у натуральних одиницях вимірювання не можуть виконувати вагову функцію, а тому вагами є вартості товарів q_j p_j. Припустимо, що в базисному періоді вартості товарів становили q_j0 p_j0, тоді зважений індекс цін набирає вигляду

Це дві форми одного індексу – середньозважена та агрегатна. Основою середньозваженої форми є індекс Карлі, агрегатної – індекс Дюто.

Аналогічна ситуація виникає при агрегуванні фізичного обсягу продукції (товарної маси, кількості), якщо елементи сукупності не сумірні між собою, тобто не мають спільної міри:

та .

У такому разі їх агрегування можливе лише за умови зведення різнорідних елементів до одного порівнянного виду за допомогою певних сумірників. Найчастіше сумірниками є вартісні показники – ціна або собівартість одиниці продукції. Наприклад, при визначенні обсягів проданих на біржі товарів — металу, лісоматеріалів, цементу – сумірниками виступають ціни. Обсяги продажу записуються як Якщо за сумірник узяти собівартість с, агрегат інтерпретується як грошові витрати і набирає вигляду

Іноді зручнішим є трудовий сумірник. Наприклад, при визначенні обсягів виконаних у сільському господарстві робіт (оранка, боронування, сівба тощо) як сумірник використовують трудомісткість, тобто затрати праці на одиницю виконаної роботи (позначимо t). Тоді загальний обсяг трудових затрат буде

Зведений індекс фізичного обсягу також має дві форми – середньозважену та агрегатну:

Як бачимо з формул наведених індексів та , їх значення залежить від структури агрегату і динаміки окремих його елементів. Тому при визначенні зведеного індексу необхідно передусім обґрунтувати коло елементів, які підлягають агрегуванню в одне ціле.

Підсумовування ведеться по всьому визначеному колу елементів як у чисельнику, так і в знаменнику, а тому надалі для простоти викладу навчального матеріалу у формулах зведених індексів ідентификаційні позначки елементів не вказуються.

7.3

Агрегатний індекс – це співвідношення двох агрегатів, конкретних щодо змісту й часу. Агрегат є добутком спряжених величин. Одна з цих величин індексована – у чисельнику і знаменнику вона в різних періодах, інша є вагою чи сумірником індексованої величини і фіксується на одному й тому самому рівні.

Так, в індексі цін індексується ціна p, а кількість q являє собою вагу ціни і фіксується на одному й тому самому рівні; в індексі фізичного обсягу продукції індексується кількість q, а сумірник кількості – ціна p – фіксується:

Ваги в індексі цін і сумірники в індексі фізичного обсягу можна фіксувати на рівні як базисного, так і поточного періоду. Для ілюстрації варіантів зважування використаємо матрицю агрегатів (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Схема співвідношення агрегатів

На головній діагоналі матриці розміщено фактичні вартості товарів, на побічній – перехресні (умовні). По горизонталі розміщені агрегати з фіксованими вагами: у першому – на рівні базисного періоду, у другому – на рівні поточного. По вертикалі – агрегати з фіксованими сумірниками: у першому – на рівні базисного періоду, у другому – на рівні поточного. Порівняння агрегатів дає дві системи індексів – базисно-зважену (Ласпереса) та поточно-зважену (Пааше).

У базисно-зваженій системі перехресні агрегати побічної діагоналі порівнюються з базисним агрегатом головної діагоналі , у поточно-зваженій системі агрегат головної діагоналі порівнюється з перехресними агрегатами побічної діагоналі. Схематично системи зважування показано на рис. 7.1, а формули індексів наведені в табл. 7.1.

Таблиця 7.1