3.2. Анализ кинетики размораживания продукта в холодильной камере при лучистом теплоотводе от отражающих тёплых стенок

Пусть продукт помещён в холодильную камеру, в которой все стенки являются отражающими, с лучистым теплоотводом (рис. 3.2.1).

Рис. 3.2.1. Схема расположения продукта в холодильной камере

Предполагается, что

- теплота передаётся в камеру через ограждающие конструкции, с заданной величиной удельного теплового потока q (Вт/м²);

- общий тепловой поток от стенки воздуху камеры передается конвекцией, а продукту – лучеиспусканием, т.е.

q = q_к + q_{л ,}

причём, конвективный тепловой поток от стенки камеры к воздуху вычисляется по зависимости

q_к = _к(Т_ст - Т_в), (3.2.1)

где _к - коэффициент теплоотдачи конвекцией, Вт/(м²К), Т_ст - температура внутренней поверхности стены камеры, К (Т_ст = const), Т_в - температура воздуха в камере;

лучистый тепловой поток от стенки камеры к продукту - на основании закона Стефана-Больцмана (3.1.2);

- доля теплоты от наружных стен камеры хранения передается лучеиспусканием непосредственно к продукту, не повышая при этом температуры воздуха, причём, радиационная теплота от стенки, нагревая поверхность продукта, приводит к тому, что часть проникшей в камеру теплоты отводится конвекцией не от стен, а от продукции.

В общем случае в условиях хранения замороженного продукта тепловой поток от него определяют по формуле

q= q_к + q_и, (3.2.2)

где q_к — конвективный тепловой поток от продукта к воздуху, образующийся в результате нагрева поверхности продукта радиационной теплотой от стенки камеры,

q_к = _к(Т_прод - Т_возд), (3.2.3)

q_и - тепловой поток от испарения влаги с поверхности продукта (поскольку величина q_и обычно значительна, то ею пренебрегают);

- в условиях, когда поверхность стен покрыта материалом с низкой степенью черноты, например, алюминиевой фольгой, и имеет место снижении теплоотдачи от теплой стенки к продукту лучеиспусканием, происходит повышение температуры самой стенки и увеличение коэффициента конвективной теплоотдачи, т.е. при снижении степени черноты ограждающих конструкций холодильника изменяется соотношение величин теплового потока конвекцией и лучеиспусканием от стен [49].

Как уже отмечалось, проблема совместной передачи теплоты продукту теплопроводностью, конвекцией и излучением в теоретическом плане в общем виде весьма сложна.

Имея в виду получить решение задачи о совместном передачи теплоты продукту путём теплопроводности, конвекции и излучения в изолированной от внешней среды камере проводим ряд упрощений, не cущественно искажающих реальное протекание исследуемого процесса.

1. Учитывая, что в начальный период хранения продукта температура Т_с камеры и температура Т_прод в продукте предполагаются одинаковыми, а температура Т_ст (Т_ст = const) внутренней стенки Т_ст > Т_с, Т_прод, в данный период следует считать, что теплопроводность в продукте обусловлена главным образом лучеиспусканием тепла от внутренней стенки камеры к поверхности продукта.

2. В этот же период времени, вследствие наличия градиента температуры между стенкой камеры и воздушной средой, развивается конвективный перенос тепла от стенки к воздуху камеры. С другой стороны, одновременно, вследствие поглощения тепла продуктом в результате лучистой передачи тепла от стенки камеры, появляется перепад температуры между воздухом и поверхностью продукта. В результате чего, в предположении отсутствия лучистого поглощения тепла воздухом как от поверхности продукта, так и от стенки камеры, тепло конвективным путём передаётся от продукта воздуху камеры. То есть происходит нагрев конвекцией воздушной среды, с одной стороны, от стенки камеры, с другой - от продукта.

3. Если поток тепла от стенки камеры к воздуху превышает поток тепла от продукта к воздуху, то температура воздушной среды становится выше температуры продукта и возникает, (по-видимому, незначительная) конвективная передача тепла от воздуха к продукту.

В связи с этим количественное моделирование проблемы радиационно-конвективного переноса тепла к продукту в термоизолированной камере будем проводить в следующей последовательности.

Сначала, одновременно, анализируются задачи о лучистом подводе тепла к продукту и о конвективном переносе тепла от стенки камеры к воздушной среде внутри камеры.

После того как устанавливается градиент температуры между воздухом и поверхностью продукта проводится количественное исследование радиационно-конвективного переноса тепла к продукту от стенки камеры и конвективного переноса от воздушной среды к продукту.

I. Задача о нагревании продукта лучеиспусканием.

Лучистый тепловой поток от стенки камеры к продукту: на основании закона Стефана-Больцмана согласно зависимостям (3.1.2) – (3.1.6).

Учитывая, что в рассматриваемой проблеме перечисленные ограничения примерно выполняются, количественный анализ задачи проведём на базе граничного условия в форме теплообмена по закону Ньютона (3.2.3).

Рис. 3.2.2. Схема к расчёту кинетики размораживания продукта в холодильной камере при лучистом теплоотводе от отражающих тёплых стенок

В качестве исходной приближенной модели, описывающей форму тела (продукта), принимаем шар приведенного радиуса R с некоторым заданным начальным распределением температуры f(r) (рис. 3.2.2). И будем считать, что в начальный момент времени шар помещён в лучепрозрачную среду (воздух) с постоянной температурой. Т_с > T(r,0). Требуется рассчитать: а) распределение температуры внутри моделирующем продукт шаре; б) распределение температуры тела в зависимости от времени; в) удельный расход тепла в шаре при условии, что температура в любой точке шара является функцией времени  и радиуса r [50].

Дифференциальное уравнение теплопроводности для шара имеет вид [50]

(3.2.4)

где а² - коэффициент температуропроводности.

Начальное и граничные условия:

T(r,0) = f(r), (3.2.5)

(3.2.6)

где Н = / - относительный коэффициент теплообмена, 1/м;  - коэффициент теплообмена (теплоотдачи), Вт/(м²К);  - коэффициент теплопроводности, Вт/(мК),

(3.2.7)

Решение краевой задачи (3.2.4) - (3.2.7) известно [50].

В том случае, когда температура шара в начальный момент времени не зависит от r (как и в исследуемой проблеме), т.е.

T(r,0) = f₁(r) = T₀ = const,

решение задачи записывают в виде [50]:

(3.2.8)

где  является корнем трансцендентного уравнения

tg = -/(Bi - 1),

Bi = HR – критерий Био, Fo = a/R² – критерий Фурье.

При малых значениях Bi решение преобразуется к виду [50]

(3.2.9)

В свою очередь, если исключить из рассмотрения малые значения Fo, то решение (3.2.8) упрощается

(3.2.10)

где А₁ = 2/₁.

Если ввести в рассмотрение среднюю температуру [50]

Т = (3.2.11)

то относительная средняя температура

(3.2.12)

где

(3.2.13)

Удельный расход тепла находят по формуле

Q = с₁[ ], (3.2.14)

где с - теплоёмкость, Дж/(м³К); ₁- плотность тела, кг/м³.

При количественном моделировании согласно зависимостям (3.2.9) – (3.2.14) исходили (как для продукта типа мяса, по порядку величин) из следующих значений параметров исследуемого процесса [52]: продолжительность тепловой обработки шара излучением  = 10³ с; радиус шара R = R_пр = 0,25 м; плотность ₁ = 1200 кг/м³; теплоёмкость с = 5 кДж/(кгК); теплопроводность  = 0,5 Вт/(мК); коэффициент температуропроводности а = /с₁ = 0,5/(51200) = 8,3310^-5 м²/с; температура шара и воздушной среды в начальный момент времени T(r,0) = T₀ = 255 К; температура стенки камеры Т_с = 293 К.

Полагая в формуле (3.2.2) ₁ = 0,5; ₂ = 0,06; F₁/F₂ = 0,5, получили значение _прив = 0,046 и поэтому  = 0,215, Bi = R/ = 0,2150,25/0,5 = 0,108, Fo = a/R² = 8,3310^-510³/0,25² = 1,33.

В соответствии с найденными значениями критериев Bi и Fo количественный анализ по формулам (3.2.10) – (3.2.14) проводили в области изменения параметров 0,1  Bi  0,3; 0,5  Fo  1,5; 0  r  R. Результаты расчётов приведены на рис. 3.2.3 – 3.2.8.

Так, анализ поведения кривых на рис. 3.2.3, 3.2.4 выявляет естественную возрастающую зависимость относительной температуры от критерия Bi и радиального расстояния r в шаре.

3

1

2

Рис. 3. 2.3. Зависимость относительной температуры от радиального расстояния r и критерия Bi (1 - Bi = 0.1; 2 - Bi = 0.2; 3 - Bi = 0.3)

2

3

1

Рис. 3. 2.4. Зависимость относительной температуры от критерия Bi и радиального расстояния r (1 - r = 0.25R; 2 - r = 0.50R; 3 - r = 0.75R)

2

3

1

Рис. 3. 2.5. Зависимость относительной средней температуры от критерия Bi и критерия Fo (1 - Fo = 0.5; 2 - Fo = 1.0; 3 - Fo = 1.5)

3

2

1

Рис. 3. 2.6. Зависимость удельного расхода тепла от критерия Bi и критерия Fo (1 - Fo = 0.5; 2 - Fo = 1.0; 3 - Fo = 1.5)

3

2

1

Рис. 3. 2.7. Зависимость расхода тепла для шара радиусом R = 0.25 м от критерия Bi и критерия Fo (1 - Fo = 0.5; 2 - Fo = 1.0; 3 - Fo = 1.5)

3

2

1

Рис. 3. 2.8. Зависимость расхода тепла для шара радиусом R = 0.25 м от критерия Bi и времени , с (1 - Fo = 0.5; 2 - Fo = 1.0; 3 - Fo = 1.5)

Аналогичен характер графиков на рис. 3. 2.5, 3. 2.6: процесс теплопроводности в шаре интенсифицируется при увеличении значений критериев Bi и Fo.

Из анализа поведения кривых на рис. 3. 2.7, 3. 2.8 следует, что расход тепла в шаре возрастает вместе с ростом критериев Bi и Fo (рис. 3. 2.7) и времени  протекания процесса (рис. 3. 2.8).

II. Задача о нагревании конвекцией газовой среды в камере

Проблему нагревания воздуха от стенки камеры в камере будем решать как задачу о естественной конвекции газа в ограниченном сферическом слое между имитирующими стенки камеры и продукта сферами радиусами, соответственно, R_н и R_в [49]. Принимая для определённости отношение площадей поверхностей продукта и камеры F_пр/F_ст = ½, получим: R_н/R_в = (F_пр/F_ст)= 0.5 = 0,71, поэтому R_н = 0.36 м,  = R_н – R_в = 0.36 – 0.25 = 0.11 м. Если температура стенки и воздуха, соответственно, t_ст = 293 К, t_г = 255 К, то t_ст = (t_ст + t_г)/2 = (293 + 255)/2 = 274 К, t = t_ст - t_г = 293 – 255 = 38 К; _г = 0.0244 Вт/(мс); _г = 13.310^-6 м²/с; a² = 18.810^-6 м²/с; Pr = _г/a = 0.71; Gr_г = g²t/² = 9.810.11³38/(3731.7710^-10) = 1.9810⁵; Gr_гPr = 1.9810⁵0.71 = 1410⁴ и (Gr_гPr)^1/4 = 19.4;

безразмерный коэффициент теплопроводности [49]: _к = _эк/ = 0,18(Gr_гPr)^1/4 = 0,1819,4 = 3.8;

эквивалентный коэффициент теплопроводности: _эк = _к_г = 3.480.0244 = 0.085 Вт/(мК);

удельный расход тепла:

q = _экt/ = 0.08538/0.11 = 29.4 Вт/м². (3.2.15)

Если А_ст (Дж) – выход тепла со стороны стенки камеры за период времени , то, в пренебрежении убыли потока тепла в результате повышения температуры воздуха в камере, будем иметь

А_ст = q4R_н² (3.2.16)

и для рассматриваемого примера составляет: А_ст = 29.440.36² = = 47.9 Дж. То есть за одну сек. выход тепла со стороны стенки камеры к воздуху равен 47.9 Дж.

При этом температура воздуха в камере повысится на

t_к = А_ст/(с_вm_в) (3.2.17)

где с_в - изохорная теплоёмкость, m_в = (4/3)_в(R_н³ – R_в³) – масса воздуха в камере.

При выбранных значениях параметров процесса

t_к = А_ст/(с_вm_в) = q4R_н²/[ с_в(4/3)_в(R_н³ – R_в³)] =

= 3q/[с_в_в R_н(1 – ³)],

где  = R_в/R_н.

В результате [49] при с_в = 1005 Дж/(кгК),  = 1.3 кг/м³, R_в =0.25 м, R_н = 0.36 м,  = 0.25/0.36 = 0.694, имеем

t_к = 3q/[с_в R_н(1 – ³)] = 329.4/[10051.30.36(1 – 0.33)] = = 88.2/315 = 0.28, К.

Как видно, темп нагрева воздуха в камере составляет 0.28 К/с, т.е. является достаточно высоким и поэтому его следует учитывать в расчётах итеративным путём.

В свою очередь, в соответствии с формулой (3.2.17) поглощение тепла продуктом за тот же период времени составляет:

А_пр = 4R_в³/3Q = 4R_в³/3с[ ], (Дж) (3.2.18) Поэтому согласно (3.2.15) - (3.2.18) время, за которое выход тепла со стороны стенки камеры и поглощение тепла продуктом за тот же период времени, находим, решая относительно  уравнение А_ст = А_пр:

• = с[ ]R/(3q), c. (3.2.19)

Поскольку соотношение (3.2.19) зависит от большого числа параметров, то в нём целесообразно перейти к безразмерным величинам, полагая

Fo = а/R², Bi = R/,  = Т₀/q. (3.2.20)

В таком случае (3.2.19) в критериальных величинах принимает вид

Fo = (3.2.21)

Таким образом, задача сведена к неявному решению по Fo уравнения (3.2.21).

В качестве исходных (по порядку величин) параметров задачи принимали: а = 10^-4 м²/с, R = 0.25 м,  = 0.2 Вт/(м²К),  = 0.5 Вт/(мК), T₀ = 255 К, q = 30 Вт/м².

Имея в виду, что время  = Fo R²/а, на базе решения уравнения (3.2.21) рассчитан график зависимости периода времени  установления баланса между выходом тепла от стенки камеры и поглощения тепла продуктом от критерия Bi.

Рис. 3.2.9. График зависимости периода времени (с) установления баланса между выходом тепла от стенки камеры и поглощения тепла продуктом от критерия Bi.

Причём, расчётами выявляется естественное возрастание период времени  по критерию Bi и слабое влияние входящей в выражение  (3.2.20) величины удельного расхода тепла q (при фиксированных значениях параметров  и Т₀). Как видно по графику на рис. 3.2.9, в области реальных значений параметров процесса теплообмена период времени (с) установления баланса между выходом тепла от стенки камеры и поглощения тепла продуктом сравнительно не продолжителен и он варьирует в интервале от 7 мин до 13 мин.