2.2. Покращення зображень із використанням других похідних: лапласiан

У цьому розділі ми розглянемо застосування двовимірної другої похідної в завданнях покращення зображень. Підхід зводиться до вибору дискретного формулювання другої похідної й до подальшої побудови маски фільтру, яка ґрунтується на цьому формулюванні. Розглядатися будуть ізотропні фільтри, відгук яких не залежить від напряму неоднорідностей зображення. Іншими словами, ізотропні фільтри є інваріантними до повороту, в тому сенсі, що поворот зображення й подальше застосування фільтру дає той самий результат, що і первинне застосування фільтру з подальшим поворотом результату.

Розробка методу

Можна показати, що простим ізотропним оператором, що ґрунтується на похідних, є лапласіан (оператор Лапласа), який у випадку функції двох змінних визначається як

(4.5)

Оскільки похідні будь-якого порядку є лінійними операторами, то це означає, що й лапласіан є лінійним оператором.

З метою застосування цього рівняння в цифровій обробці зображень, його необхідно представити в дискретному вигляді. Існує декілька способів задати лапласiан в дискретному вигляді на основі значень сусідніх пікселів. Нижченаведене визначення дискретної другої похідної є одним з найрозповсюдженіших. Зважаючи, що тепер є дві змінні, для часткової другої похідної по х використовуватиметься наступна формула:

(4.6)

і, аналогічно для похідної по у:

(4.7)

Дискретне формулювання двовимірного лапласіана, заданого рівнянням (4.5), отримується об’єднанням цих двох складових:

+ (4.8)

Це рівняння може бути реалізоване за допомогою маски, представленої на рис. 4.8(а), яка дає ізотропний результат для поворотів на кути, кратні 90°.

Рис. 4.8. (а) Маска фільтру, яка використовується для реалізації дискретного лапласiана згідно з рівнянням (4.8); (б) маска, яка використовується для реалізації розширення цього рівняння шляхом додавання діагональних членів; (в) і (г) - дві інші реалізації лапласiана

Діагональні напрямки можуть бути включені у формулу дискретного лапсасіана (4.8) додаванням ще двох членів - по одному для кожного з діагональних напрямків. Вигляд кoжного з них такий самий, як в у рівнянні (4.6) або (4.7), але вказуються координати точок, розташованих по діагоналях. Оскільки кожна діагональна добавка включає член - , то сумарний член, що віднімається з суми, складе - . Маска, що відповідає такому новому визначенню, представлена на рис. 4.8(б). Така маска є ізотропною для поворотів на кути, кратні 45°. Дві маски, що залишилися, показані на рис. 4.8(в, г), також часто використовуються на практиці. Вони ґрунтуються на визначенні лапласіана, що є "негативним" по відношенню до вже розглянутого. По суті вони дають ідентичний результат, але відмінність у знаку повинна враховуватися при комбінації - операцією складання або віднімання - зображення, відфільтрованого лапласiаном, з іншим зображенням.

Оскільки оператор Лапласа по суті є другою похідною, його застосування підкреслює розриви рівнів яскравості на зображенні й пригнічує області зі слабкими змінами яскравості. Це призводить до отримання зображення, що містить сіруваті лінії на місці контурів й інших розривів, накладені на темний фон. Але фон можна "відновити", зберігши при цьому ефект підвищення різкості, що досягається лапласіаном. Для цього досить додати початкове зображення і лапласіан. Як було сказано в попередньому абзаці, при цьому необхідно пам’ятати, яке з визначень лапласіана було використано. Якщо використовувалося визначення, що використовує негативні центральні коефіцієнти, тоді для отримання ефекту підвищення різкості, зображення-лапласіан слід віднімати, а не додавати. Таким чином, узагальнений алгоритм використання лапласіана для покращення зображень зводиться до наступного:

. (4.9)

Тут w(0,0) - значення центрального коефіцієнта маски лапласіана. Застосування цього рівняння ілюструється нижченаведеним прикладом.

Приклад 4.3. Підвищення різкості зображення за допомогою лапласіана.

На рис. 4.9(а) представлено зображення Північного полюса місяця. На рис. 4.9(б) зображений результат фільтрації цього зображення лапласіаном з маскою на рис. 4.8(б).

Рис. 4.9. (а) Зображення Північного полюса місяця; (б) зображення, відфільтроване лапсасіаном (позитивні значення сигналу); (в) зображення-лапласіан, піддане градаційній корекції перед відтворенням; (г) зображення, покращене за допомогою рівняння (4.9)

Зображення-лапласіан містить як позитивні, так і негативні значення. З метою уникнення проблем з негативними значеннями сигналу, відображають значення його модуля; проте таке перетворення в деяких випадках призводить до виникнення подвійних ліній.

Зображення, представлене на рис. 4.9(в), було піддане градаційній корекції способом віднімання зображень. Видно, що основними деталями цього зображення є контури й різкі перепади яскравості різного рівня. Фон, раніше чорний, тепер, внаслідок градаційної корекції, став сірим. таке сірувате проявлення фону є типовим для правильно відкоригованих зображень-лапласіанів.

Нарешті, на рис. 4.9(г) показаний результат, отриманий з використанням рівняння (4.9). Деталі на цьому зображенні виглядають значно чистішими й різкішими, ніж на початковому зображенні. Додавання початкового зображення до лапласіана відновило загальний діапазон зміни яскравостей на зображенні, а лапласіан посилив контрасти в місцях яскравих розривів. Кінцевим результатом стало зображення, на якому дрібні деталі покращені, а фонові півтони відмінно збережені. Результати, подібні до даного, дозволили методам покращення, які ґрунтуються на лапласіані, стати основним інструментом, що часто використовується для підвищення різкості цифрових зображень.

Спрощення

У попередньому прикладі рівняння (4.9) було реалізоване в два етапи: як первинне обчислення зображення, відфільтрованого лапласіаном, й наступне віднімання його від початкового зображення. Це було зроблено з метою навчання, щоб проілюструвати кожен крок процедури. На практиці дії, що описуються рівнянням (4.9), зазвичай виконують за один прохід з використанням єдиної маски. Коефіцієнти такої єдиної маски легко отримати підстановкою рівняння (4.8) в перший рядок рівняння (4.9)

(4.10)

Це рівняння може бути реалізоване за допомогою маски, показаної на рис. 4.10(а). Маска, показана на рис. 4.10(б), повинна використовуватися, якщо в обчислення лапласіана включаються діагональні сусідні елементи. Ідентичні маски отримуються, якщо в другий рядок рівняння (4.9) підставити зі знаком мінус рівняння (4.8).

Приклад 4.4. Покращення зображення при використанні складеної маски лапласіана.

Результати, що отримуються із застосуванням маски, що містить діагональні елементи, зазвичай є різкішими, ніж із застосуванням первинної маски на рис. 4.10(a). Ця особливість проілюстрована зображеннями на рис. 4.10(г) і рис. 4.10(д), де представлені результати фільтрації лапласіаном з використанням масок рис. 4.10(a) і рис. 4.10(б), відповідно. Порівнюючи зображення після фільтрації з оригіналом, представленим на рис. 4.10(в), можна помітити, що обидві маски дають помітне покращення, але результати з маскою на рис. 4.10(б) виглядають різкішими. Початкове зображення на рис. 4.10(в) є знімок пошкодженого під час перегрівання вольфрамової нитки розжарювання, отриманий скануючим електронним мікроскопом при 250-кратному збільшенні.

Рис. 4.10. (а) Складена маска лапласіану; (б) друга складена маска; (в) зображення, отримане скануючим електронним мікроскопом; (г) і (д) результати фільтрації з масками (а) і (б). Відмітимо, наскільки (д) є різкішим, ніж (г)

Оскільки лапласіан є лінійним оператором, то можна було отримати ті самі складені маски на рис. 4.10(а) і рис. 4.10(б) безпосередньо з рівняння (4.9), яке визначене як різниця (сума) двох лінійних процесів. Тобто може бути представлене як початкове зображення, оброблене фільтром з маскою, що має одиницю в центрі й усі інші нулі. Другий член рівняння - те саме зображення, оброблене однією з масок лапласіана на рис. 4.8. Завдяки лінійності, результат, отриманий за допомогою рівняння (4.9) з одиничною маскою й однією з масок лапласіана, буде тим самим, що й результат, отриманий складеною маскою, побудованою як різниця (сума) одиничної маски й маски лапласіана.

Нерізке маскування й фільтрація з підвищенням високих частот

Процедура, що багато років використовується в поліграфії для підвищення різкості зображень, полягає у відніманні із зображення його розфокусованої копії. Ця процедура, що називається нерізким маскуванням, задається формулою

(4.11)

де - зображення з підвищеною різкістю, отримане нерізким маскуванням, а - розфокусована копія початкового зображення . Нерізке маскування веде свій початок з фотографії, де для отримання різкішого відбитку на негатив накладався розфокусований позитив, і експозиція здійснювалася через отриманий двошаровий оригінал.

Деяким узагальненням нерізкого маскування є фільтрація з підвищенням високих частот. Процедура фільтрації з підвищенням високих частот, та, що формує зображення , задається формулою

(4.12)

де , а як і раніше, розфокусована копія Це рівняння може бути записане у вигляді

(4.13)

Використовуючи рівняння (4.11), отримаємо

(4.14)

як формулу для обчислення результату фільтрації зображення з підвищенням високих частот.

Рівняння (4.12) і (4.14), взагалі кажучи, не визначають спосіб отримання різкого зображення. Можна обрати використання лапласіана, тоді може бути отримане з рівняння (4.9). В цьому випадку рівняння (4.14) матиме вигляд

(4.15)

Тут, як і раніше, - значення центрального коефіцієнта маски лапласіана. Фільтрація з підвищенням високих частот також може бути реалізована за один прохід при використанні однієї з двох масок, показаних на рис. 4.11. Помітимо, що при фільтрація з підвищенням високих частот стає "стандартним" підвищенням різкості за допомогою лапласіана. При збільшенні більше 1, ефект збільшення різкості стає усе меншим. Врешті-решт, при досить великих результат фільтрації зображення з підйомом високих частот приблизно співпадатиме з результатом множення початкового зображення на константу.

Приклад 4.5. Покращення зображення за допомогою фільтру, що посилює високі частоти.

Одним з типових додатків фільтрації зображення з підвищенням високих частот є випадок, коли початкове зображення темніше, ніж це потрібно. Варіюванням коефіцієнта посилення високих частот зазвичай вдається добитися загального збільшення яскравості зображення й отримати бажаний результат. Рисунок 4.12 ілюструє саме таке застосування методу. Частина (а) цього рисунку є темнішим варіантом зображення на рис. 4.10(в). На рис. 4.12(б) показане зображення-лапласіан, отримане при використанні маски на рис. 4.11(б) з . Зображення на рис. 4.12(в) було отримано за тієї ж маски, але з . Як і очікувалося, зображення стало різкішим, але все ще залишається таким самим темним, що й початкове. Нарешті, на рис. 4.12(г) показаний результат при А = 1,7. Цей результат найбільше підходить, оскільки збільшений середній рівень яскравості, а отже зображення стало світлішим і природнішим.

Рис. 4.11. Метод фільтрації зображення з підвищенням високих частот може бути реалізований при використанні будь-якої з цих масок з

Рис. 4.12 (а) Зображення з рис. 4.10(в), але більш темніше; (б) лапласіан-зображення (а), отримане при використанні маски рис. 4.11(б) з (в) зображення, покращене накладенням лапласіану з маскою рис. 4.11(б) і ; (г) фрагмент (в), але з