2.3. Покращення зображень із використанням перших похідних: градієнт
В
обробці зображень перші похідні
реалізуються через модуль градієнта.
Для функції
градієнт
у точці
визначається як двовимірний вектор-стовпчик
(4.16)
Модуль цього вектору визначається таким чином:
(4.17)
Компоненти вектору градієнта є лінійними операторами, але модуль вектора, очевидно ні, оскільки він виражається через операції піднесення до квадрату й добування квадратного кореня. З іншого боку, часткові похідні в рівнянні (4.16) не є інваріантними до повороту (ізотропними), але модуль вектору градієнта таким є. Хоча це і не є строго правильним, модуль вектора градієнта часто називають градієнтом. Наслідуючи цю традицію, ми також будемо використовувати цей термін у подальших обговореннях, явно посилаючись на вектор або його амплітуду тільки в тих випадках, коли можлива неясність.
Об’єм обчислень, необхідний для обробки всього зображення оператором (4.17), досить великий, тому частою практикою є наближення значення модуля градієнта сумою модулів окремих компонентів, замість квадратів і квадратних коренів :
(4.18)
Це рівняння простіше в обчисленнях, воно все ще зберігає відносні зміни в рівнях яскравості, але властивість ізотропності встрачається. Проте, як і у разі лапласіана, властивості ізотропності для дискретного градієнта зберігаються тільки для обмеженого набору кутових приростів, який залежить від масок, що використовуються для наближення похідних. Як виявляється, маски, що найчастіше використовуються для наближення градієнта, дають ті самі результати тільки для кутів, кратних 90°. Ці результати не залежать від того, яке рівняння використовується - (4.17) або (4.18), так що під час використання простішого рівняння (4.18) нічого істотного не втрачається.
Аналогічно
до лапласіана, спочатку будуть визначені
дискретні наближення приведених вище
рівнянь, а потім вже по них будуть
сформовані відповідні маски фільтрів.
Щоб спростити подальші міркування, для
вказівки точок в околиці
використовуватимуться позначення,
показані на рис. 4.13(а). Так, наприклад,
центральна точка
означає
,
і так далі.
Рис.
4.13. Область зображення розмірами 3x3
елементи (
- значення яскравості відповідних
пікселів під маскою) і маски, що
використовуються для обчислення
градієнта в точці
.
Суми коефіцієнтів по кожній з масок
дорівнюють нулю
Як
вже зазначалося, простими наближеннями
першої похідної, які
задовольняють
сформульованим умовам, є наступні:
і
.
Два інші визначення використовують
перехресні напрями:
.
(4.19)
Якщо вибрати рівняння (4.17), то градієнт обчислюватиметься за наступною формулою:
(4.20)
Якщо використовуються абсолютні значення, тоді, підставляючи рівняння (4.19) у (4.18), отримаємо наступне наближення до значень градієнта :
(4.21)
Це рівняння може бути реалізоване за допомогою двох масок, показаних на рис. 4.13(б) і (в). Ці маски називають перехресним градієнтним оператором Робертса. Проте маски парного розміру реалізовувати незручно. Найменша маска фільтру, яка нас цікавить, має розміри 3x3. Наближенням, що використовує абсолютні значення для тієї самої точки , але вже по масці 3x3, буде:
(4.22)
Різниця
між значеннями пікселів у третьому й
першому рядках околиці 3x3 наближає
значення похідної по напряму
,
а різниця між значеннями пікселів у
третьому і першому стовпцях наближає
значення похідної по напряму
.
Маски, представлені на рис. 4.13(г) і
(д),
називають оператором
Собела
(Sоbel).
Вони можуть використовуватися для
реалізації рівняння
(4.22)
за допомогою того ж алгоритму, що і
рівняння
(4.1).
Використання вагових коефіцієнтів зі
значенням 2 ґрунтується на прагненні
присвоїти центральним (у рядках і
стовпцях) точкам більшої значущості, і
тим самим досягти більшої гладкості.
Помітимо, що суми коефіцієнтів кожної
з масок дорівнюють 0, і це означає, що на
ділянках зображення з постійним рівнем
яскравості відгук будь-якого з приведених
операторів дорівнюватиме 0, як і повинно
бути у оператора, що відповідає першій
похідній.
Приклад 4.6. Застосування градієнта для покращення контурів.
Градієнт часто використовується в технічному контролі для того, щоб допомогти людині виявити дефекти, або, що є загальнішим, як попередня обробка під час автоматизованого контролю. Проте представляється корисним розглянути деякий простий приклад для демонстрації, як може бути використаний градієнт для покращення видимості дефектів і для видалення характеристик фону, що слабо змінюються. У цьому конкретному прикладі покращення використовується в якості кроку попередньої обробки для подальшого автоматичного контролю, а не для візуального аналізу.
На рис. 4.14(а) показано оптичне зображення контактної лінзи, освітленої спеціальною світловою установкою, призначеною для підкреслення неточності. В даному випадку можна помітити два дефекти на краях (їх видно на колі в позиціях "4 і 5 годин"), На рис. 4.14(б) показаний градієнт, розрахований по формулі (4.18) з масками оператора Собела, показаними на рис. 4.13(г) і (д).
Дефекти країв видно як на зображенні 4.14(а) так і на 4.14(б), але перевагою другого зображення є те, що видалені зміни яскравості, що слабо міняються, тим самим спрощено завдання автоматичного контролю. Помітимо також, що градієнтна обробка підкреслює дрібні дефекти, які нелегко помітити на півтоновому зображенні (такими дефектами можуть бути сторонні вкраплення, повітряні кишені в утримувачі, а також неточності меніска лінзи). Здатність підкреслити дрібні неоднорідності на рівному сірому полі є ще однією важливою характеристикою градієнта.
Рис. 4.14. (а) Оптичне зображення контактної лінзи (дефекти видно на краях кола в позиціях "4 і 5 годин"); (б) градієнт, отриманий оператором Собела