Степенная функция.

Это функция вида , . Рассматриваются такие случаи:

а). Если , то . Тогда , ; если число  - чётное, то и функция  - чётная (то есть при всех ); если число  - нечётное, то и функция - нечётная (то есть при всех ).

График степенной функции при

б) Если , , то . Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для : если  - чётное число, то и - чётная функция; если  - нечётное число, то и  - нечётная функция.

График степенной функции при

Снова заметим, что при всех . Если , то при всех , кроме (выражение не имеет смысла).

в). Если  - не целое число, то, по определению, при : ; тогда , .

График степенной функции при

При , по определению, ; тогда .

График степенной функции при

1. Область определения степенной функции – множество всех положительных чисел.

2. Область значения степенной функции – множество всех положительных чисел.

3. Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.

4. Степенная функция непрерывна во всей области определения.

5. Степенная функция дифференцируема во всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле

(x^)= ^.x^-1.

Степенная функция x^ монотонно возрастает во всей области определения при <0.

y = x ^5/2

1

1

y

y = x^1/2

y

0 1 x 0 1 x

7. При <0 и >1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0<<1 – вогнутостью вниз.

Показательная функция (экспонента).

Это функция вида ( , ). Для неё , , , и при график имеет такой вид:

.График показательной функции при

При вид графика такой:

Рис.1.20.График показательной функции при

1. Число называется основанием показательной функции. Область определения функции – вся числовая прямая.

2. Область значения функции – множество всех положительных чисел.

3. Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле

(a^x) =a^xlna

4. При а>1 функция монотонно возрастает, при а<1 монотонно убывает.

5. Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.

6. График любой показательной функции пересекает ось 0y в точке y=1.

7. График показательной функции – кривая, направленная вогнутостью вверх.

Логарифмическая функция.

Это функция вида ( , ). Для неё , , , и при график имеет такой вид:

График логарифмической функции при

При график получается такой:

График логарифмической функции при

1. Число называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия. Область определения логарифмической функции – промежуток (0; +).

2. Область значения логарифмической функции – вся числовая прчмая.

3. Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле

(log_a x) = 1/(x ln a).

4. Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а>1. При 0<a<1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.

5. При любом основании a>0, a1, имеют место равенства

log_a 1 = 0, log_a a =1.

6. При а>1 график логарифмической функции – кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a<1 – кривая, направленная вогнутостью вверх.