Образец выполнения контрольной работы Парная регресия и корреляция

Изучается зависимость стоимости квартиры (Y, тыс.$) от ее полезной площади (Х, м²)

x	31	23	38	47	46	49	20	32	46	24
Y	38	26	40	45	51	49	34	35	42	24

Требуется:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.

2. Найти параметры уравнения линейной регрессии МНК и дать ему экономическую интерпретацию.

3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05) и с помощью средней относительной ошибки аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

5. Проверить выполнимость предпосылок МНК.

6. Рассчитать параметры уравнения степенной и гиперболической регрессии. Дать интерпретацию уравнению степенной регрессии

7. Рассчитать индексы корреляции и детерминации.

8. Оценить значимость построенных регрессий с помощью F-критерия Фишера и средней относительной ошибки аппроксимации. Сделать выводы.

9. С помощью сравнения основных характеристик выбрать лучшее уравнение регрессии и сделать вывод.

10. Осуществить прогнозирование среднего показателя Y при уровне значимости α=0,05, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения. Определить доверительный интервал прогноза.

Решение.

1. Построим поле корреляции.

По виду поля корреляции можно предположить наличие линейной корреляционной зависимости Y по х между двумя рассматриваемыми переменными. Но возможно и построение степенной модели, показательной или гиперболической регрессий.

2. Построим линейную модель парной регрессии .

Рабочая таблица. (При составлении этой таблицы можно воспользоваться математическими функциями ППП Excel)

N	х	Y	x2	Xy	y2
1	31	38	961	1178	1444	35,03	2,97	8,82	0,08
2	23	26	529	598	676	29,27	-3,27	10,70	0,12
3	38	40	1444	1520	1600	40,07	-0,07	0,0049	0,0017
4	47	45	2209	2115	2025	46,55	-1,55	2,40	0,03
5	46	51	2116	2346	2601	45,83	5,17	26,73	0,10
6	49	49	2401	2401	2401	47,99	1,01	1,02	0,02
7	20	34	400	680	1156	27,11	6,89	47,47	0,20
8	32	35	1024	1120	1225	35,75	-0,75	0,56	0,02
9	46	42	2116	1932	1764	45,83	-3,83	14,67	0,09
10	24	24	576	576	576	29,99	-5,99	35,88	0,25
Сумма	356	384	13776	14466	15468		0,58	148,25	0,91

Значения параметров а и b линейной модели определим, используя данные таблицы

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

С увеличением полезной площади квартиры на 1м² стоимость увеличивается в среднем на 0,72 тыс.$.

3. Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:

Можно сказать, что связь между полезной площадью квартиры Х и ее стоимостью У прямая, достаточно сильная.

Рассчитаем коэффициент детерминации: R_yx=r²_yx=0,794

Вариация результата У (стоимость квартиры) на 79,4% объясняется вариацией фактора Х (полезной площадью). На остальные факторы, неучтенные в модели, приходится 20,6%.

4. Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерий Фишера:

для α=0,05; k₁=m=1, k₂=n-m-1=8, где m-число объясняющих факторов в модели.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, так как

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:

В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 9,1%, что находится в пределах нормы, то есть качество модели хорошее.