5. Проверим предпосылки мнк.

а) Проверка равенства математического ожидания остаточной последовательности нулю.

Вычислим среднее значение ряда остатков.

.

Так как , то модель не содержит постоянной систематической ошибки и адекватна по критерию нулевого среднего.

б) Проверка свойства гомоскедастичности

Расположим значения факторного признака в порядке возрастания.

20

23

24

31

32

38

46

46

47

49

Разделим совокупность наблюдений на две группы и для каждой группы с помощью программы Анализ данных в EXCEL, инструмент Регрессия определим параметры уравнений регрессий и остаточные суммы квадратов.

Таблица 2.4

Расчётные значения

	Уравнение регрессии	Остаток
1 группа
2 группа

Расчетный критерий равен: .

Табличное значение F-критерия с и степенями свободы и при доверительной вероятности 0,95 равно 6,39.

Величина не превышает табличное значение F-критерия, следовательно, свойство гомоскедастичности выполняется.

в) Проверку независимости последовательности остатков (отсутствие автокорреляции) осуществим с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона.

.

Расчетное значение критерия сравнивается с нижним и верхним критическими значениями статистики Дарбина-Уотсона. При n=10 и уровне значимости 5%, , .

Поскольку , то гипотеза о независимости остатков принимается и модель признается адекватной по данному критерию.

г) Случайные отклонения далжны быть независимы от объясняющих переменных.

Так как , то

д) Проверку соответствия распределения остаточной последовательности нормальному закону распределения осуществим с помощью R/S-критерия. формуле:

.

Расчетное значение R/S-критерия сравнивается с табличными значениями (нижней и верхней границами данного отношения).

Нижняя и верхняя границы отношения при уровне значимости равны соответственно 2,67 и 3,57.

Расчетное значение отношения попадает в интервал между критическими границами, следовательно, с заданным уровнем значимости гипотеза о нормальности распределения принимается.

Выполним пункты 6)-8) для степенной модели

6. Построение степенной модели парной регрессии.

Уравнение степенной модели имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: .

Обозначим Тогда уравнение примет вид: , то есть получили линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя МНК.

Составим рабочую таблицу.

N		X	у	Y	X2	XY
1	31	1,4913	38	1,5798	2,2240	2,3560	35,2571	-2,7429	7,5235	0,072	0,16
2	23	1,3617	26	1,4150	1,8542	1,9268	29,0982	3,0982	9,5988	0,119	153,76
3	38	1,5798	40	1,6020	2,4957	2,5308	40,1901	0,1901	0,0361	0,005	2,56
4	47	1,6721	45	1,6532	2,7960	2,7643	46,0782	1,0782	1,1625	0,024	43,56
5	46	1,6627	51	1,7076	2,7646	2,8392	45,4452	-5,5548	30,8558	0,109	158,76
6	49	1,6902	49	1,6902	2,8568	2,8568	47,3300	-1,67	2,7889	0,034	112,36
7	20	1,3013	34	1,5315	1,6934	1,9929	26,5965	-7,4035	54,8118	0,218	19,36
8	32	1,5051	35	1,5440	2,2653	2,3239	35,9845	0,9845	0,9692	0,028	11,56
9	46	1,6627	42	1,6232	2,7646	2,6989	45,4452	3,4452	11,8694	0,082	12,96
10	24	1,3802	24	1,3802	1,9050	1,9049	29,9058	5,9058	34,8785	0,246	207,36
∑	356	15,3071	384	15,7267	23,6196	24,1945			154,4945	0,937	722,40

Уравнение регрессии имеет вид:

Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения.

Получим уравнение степенной модели регрессии

Так как в уравнении степенной регрессии параметр b совпадает с коэффициентом эластичности, то уравнение регрессии можно проинтерпретировать следующим образом: с увеличением полезной площади квартиры на 1% стоимость увеличивается в среднем на 0,6432%.

7. Определим индекс корреляции

Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной, так как R>0,7. Коэффициент детерминации

Вариация результативного признака у (стоимость квартиры) на 78,6% объясняется вариацией фактора х (полезной площадью квартиры).

8. Рассчитаем F-критерий Фишера:

для α=0,05; k₁=m=1, k₂=n-m-1=8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, так как

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:

В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 9,37%, что находится в пределах нормы, то есть качество модели хорошее.

Выполним пункты 6)-8) для гиперболической модели.