Подгруппы

Если некоторое подмножество H множества G само образует группу относительно операции , определенной в G, то (H, ) называется подгруппой группы (G, ).

Например, подмножество четных целых чисел есть подгруппа аддитивной группы Z всех целых чисел, а подмножество нечетных чисел не будет подгруппой этой группы (сложение на Z не задает операцию на этом подмножестве, так как сумма двух нечетных чисел есть число четное).

Утверждение. Для того чтобы подмножество H образовывало подгруппу группы (G, ), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

1. Результат операции  (определенной в G) над любыми двумя элементами h₁, h₂ из подмножества H также является элементом из H ( h₁h₂  H ).

2. Если h  H, то и обратный к нему элемент h^–1 принадлежит H ( h^–1  H ).

Наиболее просты так называемые циклические подгруппы, которыми обладает любая группа G. Со всяким элементом a  G можно связать «порожденную» им циклическую подгруппу, которая, по существу представляет собой наименьшую из подгрупп, содержащую данный элемент.

Введем понятие степени aⁱ элемента a, полагая aⁱ = a^{i – 1}  a, a⁰ = e.

При таком определении степени выполняются правила действий со степенями: для любых целых чисел k и m

a^k  a^m = a^{k + m}, ( a^k ) ^m = a^{k m} , a^{– k} = (a^{– 1}) ^k.

Поскольку операция возведения элемента группы в степень не выводит за пределы группы, то все степени элемента принадлежат некоторой подгруппе группы.

Утверждение. Пусть группа (G, ) содержит элемент a. Тогда все степени aⁱ элемента a образуют циклическую подгруппу, порождаемую элементом a.

Определение. Наименьшая степень t , при которой a^t = e называется порядком элемента a группы (G, ) , ord (a ) = t.

Утверждение. Циклическая подгруппа, порожденная элементом a порядка t, имеет порядок t.

Утверждение. Порядок любого элемента группы делит порядок группы.

Утверждение. (Теорема Лагранжа) Порядок любой подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.

Утверджение. Если ord (a ) = t, то элемент a^k имеет порядок, равный t / НОД ( t, k ).

Пример. В группе Z₂₉^* ord (24) = 14 , 24¹⁰ = 20, ord (20) = 14 / НОД ( 14, 10 ) = 7.

Утверждение. Если (G, ) – циклическая группа порядка n , d – делитель n , то группа (G, ) имеет ровно ( d) элементов порядка d .

Пример. Порядок группы Z₂₉^* равен 28, d =14 – делитель порядка группы. Группа Z₂₉^* имеет ( d) = ( 14) = 6 элементов порядка 14: 4, 5, 6, 9, 13, 22.

Определение. Две группы (A, ) и (G, ) называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие f : A  G между элементами множеств A и G, сохраняющее действие операций : для любых элементов a, b  A выполняется равенство f (a  b ) = f (a )  f (b )  G .

Пример. Мультипликативная группа положительных вещественных чисел – ( R₊ ,  ). Аддитивная группа вещественных чисел – ( R , +). Взаимно однозначное соответствие – log : R₊  R сохраняет действие операций в группах : log ( x y ) = log ( x ) + log ( y ). Следовательно, группы ( R₊ ,  ) и ( R , +) являются изоморфными.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение группы.

2. Дайте определение порядка группы.

3. Что такое порядок элемента группы?

4. Какая группа называется коммутативной?

5. Дайте определение циклической группы.

6. Дайте определение подгруппы.

7. Дайте определение циклической подгруппы.

8. Какой элемент группы называется образующим?

9. Каковы свойства образующих элементов группы Z_n^* ?

10. Сформулируйте теорему Лагранжа.

11. Какие группы называются изоморфными?