Понятие гидростатического давления и его свойства.

Свойства гидростатического давления в точке.

1) Гидростатическое давление − давление сжатия, направленное по нормали к площадке.

2) Гидростатическое давление в точке жидкости не зависит от давления.

Согласно условиям равновесия сумма проекций всех сил на соответствующие оси координат, а также сумма проекций моментов этих сил относительно осей координат должна равняться нулю.

Выделим в жидкости элементарный объем в форме тетраэдра с ребрами , соответственно расположенными на координатных осях OX, OY, OZ. На выделенный элемент жидкости действуют силы давления окружающей жидкости и массовые силы.

Силы давления на грани будут равны:

,

,

,

где − площади соответствующих граней; − средние гидростатические давления на гранях тетраэдра; − давление на наклонной грани.

Составим условия равновесия выделенного объема жидкости относительно каждой из координатных осей:

так как нас интересует давление в точке, будем стягивать тетраэдр в точку.

, ,

Итак, гидростатическое давление в точке не зависит от направления, т.е. остается одинаковым по всем направлениям. Когда объем тетраэдра приближается к нулю, векторы силы приближаются к началу координат, а моменты сил относительно осей обращаются в нуль. В итоге второе условие равновесия автоматически выполняется. Очевидно, что для различных точек в жидкости величина гидростатического давления может быть различной, т.е. гидростатическое давление точке является функцией координат .

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости в форме Эйлера.

Р ассмотрим условия равновесия частицы покоящейся жидкости или газа в объеме элементарного параллелепипеда с ребрами , соответственно параллельными координатным осям OX, OY, OZ. Будем считать, что находящаяся в равновесии частица жидкости отвердела. Элементарный параллелепипед жидкости находится в равновесии под действием поверхностных и массовых (объемных) сил. Пусть − средние гидростатические давления на грани параллелепипеда, перпендикулярные соответствующим осям координат. При переходе от одной грани к другой давление в общем случае должно измениться, т.к. . Тогда на противоположные грани параллелепипеда, соответственно, будут действовать противодавления

, , , или иначе

, , .

Поверхностные силы, действующие по граням параллелепипеда, равны произведению среднего гидростатического давления на площадь соответствующей грани и могут быть написаны в виде:

; ; ; ; ; ;

Кроме поверхностных сил, на частицу жидкости будут действовать массовые (объемные) силы, распределенные по всему ее объему, т.е. действующие на каждую точку внутри элементарного параллелепипеда (например, сила тяжести, сила инерции переносного движения).

Обозначим через x, у, z − проекции массовых сил, отнесенных к единице массы m. Поскольку , то размерность сил x, у, z соответствует размерности ускорения, т.е. [м/сек²]. Тогда проекции массовых сил могут быть написаны в виде xm, ym, zm. Учитывая, что масса частицы жидкости или газа в объеме элементарного параллелепипеда равна , проекции массовой силы на соответствующие оси координат можно записать в виде:

; ;

;

Выделенный параллелепипед будет в равновесии в том случае, если сумма проекций всех действующих сил на любую из координатных осей будет равна нулю. Составим уравнение проекций сил на ось ОХ, считая, что положительное направление сил совпадает с положительным направлением осей координат:

или

Разделим каждый член уравнения на произведение , тогда получим:

Исключение из уравнения dV означает, что вывод не зависит от объема выделенного элемента. Два другие уравнения, соответствующие условию равновесия по осям OY и OZ, напишем по аналогии.

В результате получим следующую систему уравнений статического равновесия жидкости или газа в форме Эйлера:

, , (1)

Эти уравнения справедливы как для капельных жидкостей ( ), так и для газов ( ). В частном случае, когда массовой силой является только сила тяжести и X=0, Y=0, Z=-g, уравнения (1) примут вид:

, , .