Основные понятий, вводимые при изучении движения жидкости. Траектория и линия тока.

Т раектория − кривая, очерчиваемая в пространстве движущейся частицей жидкости. Траектории частиц жидкости при установившемся течении являются неизменными во времени кривыми. При неустановившемся течении траектории различных частиц, проходящих через данную точку пространства, будут иметь разную форму. Для рассмотрения картины течения, образующейся в каждый момент времени, вводится понятие линии тока. Линия тока − кривая, в каждой точке которой находящаяся в ней в данный момент времени частица жидкости имеет скорость, совпадающую по направлению с касательной к этой линии. При установившемся движения линии тока с течением времени не изменяются, поэтому они совпадают с траекторией. В отличие от траектории, описанной одной частицей за некоторый промежуток времени, линия тока есть совокупность траекторий жидких частиц, векторы скоростей которых касательны к ней в данный момент времени.

В случае неустановившегося движения линии тока и траектории друг с другом не совпадают. Частица жидкости в момент t, прошедшая через отверстие сосуда, который опорожняется (движение неустановившееся), в дальнейшем в разные моменты времени будет принадлежать различным струям. Траектория частицы пересекает семейство струек.

Элементарная струйка.

З амкнутая поверхность, составленная из линий тока, называется трубкой тока. Часть жидкости, ограниченная трубкой тока, называется элементарной струйной. Элементарная струйка обладает следующими свойствами: 1) в случае установившегося движения форма элементарной струйки остается неизменной во времени, так как вид линий тока, из которых состоит струйка, в установившемся движении во времени не меняется; 2) поверхность элементарной струйки является непроницаемой для частиц жидкости, движущихся в соседних струйках, поскольку на поверхности струйки векторы скорости частиц совпадают с касательными. Таким образом, элементарная струйка представляет собой как бы самостоятельный элементарный поток. Поперечное сечение элементарной струйки принимается бесконечно малым: ,  . Вследствие этого скорости во всех точках ее поперечного сечения одинаковые. При решении многих задач гидродинамики делается предположение о том, что поток движущейся жидкости состоит из отдельных элементарных струек. Течение такого потока называют струйным, вследствие различия скоростей соседние струйки будут скользить одна по другой, не перемешиваясь друг с другом.

Расход жидкости. Средняя скорость.

Живым сечением потока называется элементарная площадка нормальная к вектору скорости .

Объемным расходом жидкости называется объем жидкости, протекающий через данную поверхность в единицу времени.

Массовым расходом жидкости называется масса жидкости, протекающий через данную поверхность в единицу времени. Если , то

Среднерасходная скорость − постоянная для всего поперечного сечения потока и равна скорости, при которой расход равен действительному.

; ;

− плотность тока − масса жидкости, протекающая через 1 м² сечения за 1 с, или массовый расход через площадку 1 м².

Динамика жидкости и газа.

Уравнение неразрывности.

Движение жидкости, при котором внутри потока не образуется пустот, т.е. нет разрывов струй, называется сплошным, или неразрывным. Найдем аналитическое выражение условия неразрывности течения жидкости, полагая плотность непостоянной. Секундная масса жидкости через единицу площади . ,

Пусть гранями бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz (рис. 29) ограничивается некоторое неподвижное относительно координатных осей пространство, через которое протекает жидкость.

З а время сек через грань АВCD внутрь параллелепипеда втекает масса жидкости , а вытекает через грань А'В'C'D' масса . Плотность и скорость на входе (в плоскости грани ABCD) в общем случае сжимаемой жидкости не равны плотности и скорости на выходе (в плоскости грани А'В'C'D'). При этом изменение и обуславливается только тем, что при переходе от одной грани к другой для сходственных точек этих граней меняется лишь координата х независимо от времени, так как втекание происходит одновременно. Поэтому:

; ;

После преобразований получим

Если за время масса жидкости внутри параллелепипеда увеличилась за счет притока на величину , а уменьшилась за счет вытекания на величину , то изменение массы в этом движении вдоль координатной оси ОХ равняется:

.

Аналогично найдем, что изменение массы в итоге движения вдоль осей ОY и OZ равняется:

;

Общее изменение массы за время сек равно:

С другой стороны, изменение массы жидкости в объеме (dx, dy, dz) параллелепипеда можно рассматривать как изменение массы в зависимо от времени. В виду постоянства координат х, у, z (так как параллелепипед неподвижен), изменение массы в нем обусловлено изменением плотности во времени, так как в этом случае . В начальный момент времени масса внутри параллелепипеда равна . По прошествии промежутка времени dt сек, средняя для объема параллелепипеда плотность изменится и будет равна

.

В конечный момент временя масса жидкости в объеме параллелепипеда равняется

.

Таким образом, изменение массы за время dt будет равно

.

Выражения и в условиях сплошности течения представляют одно и то же изменение массы в объеме параллелепипед, поэтому или

.

Сократив это уравнение на величину объема параллелепипеда (dx, dy, dz) (это сокращение указывает на независимость результата от объема), получим

. (1)

Это и есть уравнение неразрывности. Оно одинаково справедливо как для капельной несжимаемой ( ), так и газообразной сжимаемой ( ) жидкости. В частном случае установившегося движения плотность (как и все остальные параметры движения) от времени не зависит и, следовательно, . Поэтому уравнение неразрывности в этой случае имеет вид

.

Для несжимаемой жидкости ( ), как при установившемся, так и при неустановившемся движении, уравнение неразрывности имеет вид

.

Уравнение неразрывности в общем случае для установившегося двухмерного (плоского) движения и одномерного движения соответственно

, . (2)

Для частного случая одномерного установившегося движения несжимаемой жидкости из уравнения неразрывности (2) можно получить формулу расхода жидкости для элементарной струйки.

А именно: , или , т.е. .

Умножив на постоянную величину df, где df − площадь поперечного сечения элементарной струйки, получим , или ,т.е. .

Дифференциальное уравнение (1) неразрывности течения можно представить и в другом виде, учитывая что:

− справедливо и для других осей координат, запишем:

.

Записав проекции скорости как

; , , получим:

, , поэтому

.

Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости

в форме Эйлера.

В потоке идеальной жидкости возьмем произвольную точку с координатами x, y, z и выделим элемент жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы точка М была одной из его вершин. Ребра параллелепипеда параллельны координатным осям и соответственно равны dx, dy, dz. Составим уравнения движения выделенного элемента жидкости, масса которого равна в проекции на оси координат. При этом используем принцип Д'Аламбера: силы, действующие на элемент жидкости в каждый момент времени, уравновешиваются силами инерции. На элемент жидкости действуют массовые и поверхностные силы. Положительное направление сил совпадает с положительным направлением осей координат. На выделенный элементарный объем жидкости действует результирующая массовая сила, составляющие которой, отнесенные к единице массы, равны X, Y, Z. Тогда массовые силы, действующие на выделенный объем в направления координатных осей, будут равны: ; ; . Из поверхностных сил, которые заменяет собой действие окружающей среды на выделенный элемент, нужно учитывать только нормальные силы давления, так как жидкость идеальная. При вычислении сил давления, действующих на отдельные грани параллелепипеда, следует иметь в виду, что давления по трем взаимно ортогональным бесконечно малым площадкам, проходящим через одну и ту же точку М равны . Тогда на противоположные грани действуют давления, отличающиеся на величину приращения давления вдоль соответствующей координатной оси. Так, например, поскольку

,

тогда разность сил давления на левую и правую грань (вдоль оси ОХ) равна

.

Аналогично находим результирующие давления на оси Y и Z. Они будут соответственно равны

и .

Скорость движения жидкости в точке М и ее компоненты изменяется с изменением координат и времени. Тогда проекции ускорения выделенного объема жидкости равны:

,

а силы инерции определятся как произведения этих ускорений на массу параллелепипеда:

.

Уравнения движения выделенного объема жидкости в проекциях на координатные оси теперь запишутся в следующем виде:

; ;

.

Разделив эти уравнения почленно на массу элемента , получим уравнения движения жидкости, отнесенные к единице массы:

; ; . (1)

Полученная система дифференциальных уравнений носит название уравнений движения идеальной жидкости в форме Эйлера. Члены этих уравнений представляют собой соответствующие ускорения. Смысл каждого из уравнений заключается в следующем − полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорения от массовых сил и ускорения от сил давления. Уравнения Эйлера в таком виде справедливы как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости, т.е. газа, а также для случая установившегося движения. Уравнения движения в форме Эйлера недостаточны для решения гидродинамических задач, так как число уравнений 3, а число неизвестных 5 ( ). К этим уравнениям необходимо добавить уравнение неразрывности движения

и так называемое характеристическое уравнение, которое устанавливает зависимость между плотностью жидкости, давлением и температурой: . Для случая несжимаемой жидкости . Для случая газообразной идеальной жидкости характеристическим уравнением является уравнение , где Т − абсолютная температура газа, Р − абсолютное давление газа, R − газовая постоянная. Для некоторых случаев движения предполагают, что плотность рассматриваемой среда зависит только от давленая и не зависит от температуры . Такая среда называется баротропной.