П.11.4. Вес функции некоррелированных аргументов
-
разделим обе части равенства на
Получаем,
используя определение веса:
,значит:
§12.Обработка ряда неравноточных измерений одной и той же величины
Дан
ряд неравноточных измерений
(следовательно, известны веса). Обработать
ряд, то есть получить оценки параметров
(
,
- дисперсия эталонного измерения)
Будем использовать метод максимального правдоподобия:
-
функция правдоподобия для
данного
частного случая
Найдем общую функцию правдоподобия:
Прологарифмируем полученную функцию:
Возьмем производную от левой и правой частей равенства:
,
так как
Следовательно,
получаем:
,
то есть оценка математического ожидания
является средней весовой.
Возьмем вторую производную:
,
получаем:
Как
и в равноточных измерениях оценка
будет доброкачественной, оценка же
является
смещенной на тот же коэффициент, что и
в равноточном случае, поэтому несмещенной
оценкой будет являться оценка:
-
формула Бесселя для случая неравноточных
измерений, где
-
средняя квадратическая ошибка единицы
сева, то есть оценка
.
Замечание:
точно так же, как и для случая равноточных
измерений в случае, если известен
параметр
,
то есть вместо оценки известно само
математическое ожидание, следовательно
несмещенной оценки не будет:
-
формула Гаусса
П.12.1. Понятия корреляционной матрицы и обратной весовой матрицы
Ранее мы вводили понятие случайного вектора и его математического ожидания:
и
Корреляционный
момент:
Корреляционной
матрицей вектора
будет называться математическое ожидание
произведения векторов:
-
вектор - строка
-
корреляционная матрица симметрична
относительно главной диагонали.
Из корреляционной матрицы можно получить матрицы другого вида:
-обратную весовую матрицу:
-
дисперсионная матрица
П.12.2. Обобщенная формула оценки точности
Пусть
некоторый случайный вектор
имеет линейные преобразования от
.
Рассмотрим случай линейного преобразования:
-
задана и состоит из постоянных элементов
Требуется
найти
-
матрицу, характеризующую точность
вектора
.
(1)
Если
известно
,
то можно найти
,
умножив левую и правую часть на
:
(2)
Формулы (1) и (2) используются в случае равноточных измерений.
Пусть
преобразуется с помощью функции
:
,
где
- остаток от разложения в ряд Тейлора,
которым пренебрегаем.
Таким
образом, получаем:
Если
не
вектор, а одна функция, то
-
функция для зависимых элементов
Если
§13.Оценка точности по разностям двойных измерений п.13.1. Равноточные измерения
Пусть имеется - величин: . Каждая из них измеряется дважды. Результаты измерений:
-
разности двойных измерений
Теоретически
можно считать, что разности измерений
есть истинные ошибки между
и
,
которые теоретически равняются нулю:
.
Требуется
обработать ряд
:
1.
- среднее арифметическое
2.
Следует установить есть систематика
или нет. Наличие систематической ошибки
определяется по критерию:
- нет систематики;
- есть систематика.
Если
выполняется условие:
,
то
3.
,
тогда можем найти среднюю квадратическую
ошибку по формуле Гаусса:
4.
,
тогда можем найти среднюю квадратическую
ошибку по формуле Бесселя:
,
где
-
уклонение от среднего
5.
-
средняя квадратическая ошибка отдельного
результата измерения
-
средняя квадратическая ошибка наиболее
надежного значения