Література:

1. Слєпкань З. І. Методика навчання математики: Підручник. – 2-ге вид., допов. і перероб. – К.: Вища шк., 2006. – 582с.

2. Бевз Г. П. Методика викладання математики: Навч. посібник. – К.: Вища шк., 1995. – 367с.

3. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / В. А. Оганесян, Ю. М. Колягин, Г. Я. Луканкин, В. Я. Соминський. – 2-е изд., перераб и доп. – М.: Просвещение, 1980. – 367с.

4. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика / Сост. В. И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – 414с.

Тема: Початки математичного аналізу: рівень стандарту, академічний рівень, рівень профільної підготовки.

1. Основний зміст.

2. Похідна та її застосування.

3. Поняття границі функції та неперервності.

4. Вивчення первісної та інтегралу.

5. Найпростіші диференціальні рівняння в шкільному курсі математики.

6. Аналіз програм 12-річної школи.

Основний зміст.

Для математичного аналізу поняття границі має першорядне значення. Саме введення поняття границі дало можливість розглядати не лише стани, а й процеси.

У загальноосвітній школі учні вивчають границі числової послідовності і функції.

Методична схема введення поняття:

1. Проілюструвати на конкретних прикладах.

2. Після чого перейти до узагальнення.

3. Розглянути два-три приклади і контрприклади, зокрема, коли члени послідовності підходять до границі з обох боків (коливні послідовності) і коли вони поперемінно наближаються то до одного, то іншого числа.

(Якщо числова послідовність має границю, то тільки одну).

4. Сформулювати загальноприйняте означення цього поняття.

Означення доцільно ілюструвати на конкретних прикладах і геометрично, причому не тільки на числовій осі, а й на координатній площині.

Крім границі послідовності, в математичному аналізі відіграє важливу роль і поняття границі функції. Як і границю послідовності, поняття границі функції треба вводити конкретно - індуктивним методом, тобто спочатку пояснити його на кількох конкретних прикладах, краще з використанням графіків функцій, а вже потім робити узагальнення.

Питання про неперервність функції розглядають після введення поняття границі функції в точці.

Різні підходи до введення похідної.

2. Логічний підхід- похідна і інтеграл вводяться за допомогою поняття границі функції в точці.

3. Історичний підхід- похідна і інтеграл вводяться без використання поняття границі функції в точці, тобто спочатку сформовані поняття похідної і інтеграла і пізніше, як узагальнення понять - поняття границі функції. При такому підході в шкільному підручнику більше уваги приділяється практичному аспекту вивчення похідної, а не теоретичному.

Похідна та її застосування.

Роль даної теми в шкільному курсі математики її практична значимість, зв'язок з вивченням інших дисциплін.

Підготовча робота до вивчення похідної: приклади з фізики (середня та миттєва швидкість руху точки, зміни функції).

Механічний та геометричний зміст похідної:

Дотична до графіку функції - є граничне положення січної при

Геометричний зміст похідної: кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює

Окремий випадок: дотична паралельна осі абсцис.

Рівняння дотичної:

Застосування похідної

• до наближених обчислень;

• до фізики і техніки:

Механічний зміст похідної:

- до дослідження функції

Зростання і спадання, критичні точки функції, максимуми і мінімуми, найбільше і найменше значення функції.

Приклад повного дослідження функції з складанням таблиці та побудовою графіка.

Три основних етапи розв'язування практичних задач методом математичною моделювання:

• формалізація (переклад текстової задачі на мову математики);

• розв'язування одержаної математичної задачі;

• інтерпретація знайденого розв'язку (переклад з мови математики в терміни початкової задачі).

Поняття границі функції та неперервності.

Різні підходи до означення поняття границі функції та неперервності.

Означення функції, неперервної на проміжку (якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку).

Наглядне поняття про неперервність функції (малюнок, виконаний без відриву олівця від паперу).

Властивість неперервних функцій:

Якщо на інтервалі (а; в) функція неперервна і не перетворюється в нуль, то вона на цьому інтервалі зберігає постійний знак.

На цій властивості оснований метод інтервалів

Розв'язування задач на найбільші та найменші значення величин

Практична необхідність розв'язувати такі задачі стала одним із джерел розвитку математичного аналізу.

Задачі цього типу, як правило, розв'язуються за такою схемою:

• зробити креслення досліджуваного об'єкта й увести позначення;

• скласти функцію, для якої далі потрібно знайти найбільше чи найменше значення;

• якщо ця функція залежить більш як від одного аргументу, потрібно виключити зайві аргументи, використовуючи залежності даних змісту задачі;

• дослідити на екстремум складену функцію на області її реального існування;

• дослідити здобуті результати з точки зору постановки задачі.

Вивчення первісної та інтегралу.

Інтегрування - операція, обернена диференціюванню.

Мотивування введення цієї операції

Приклад із механіки:

У функції - похідна одна, а первісних безліч. Геометричний зміст основної властивості первісної. Графіки будь-яких первісних для функції одержуються один із одного паралельними перенесеннями вздовж осі ОУ

Графіки первісних краще будувати на конкретних прикладах.

Інтеграл

Означення криволінійної трапеції.

Теорема.

Якщо - неперервна і невід'ємна на відрізку функція, a F — її первісна на цьому відрізку, то площа 5 відповідної криволінійної трапеції дорівнює приросту первісної на відрізку [а;b], тобто S = F(b) - F(a).

Інший підхід до задачі на обчислення площі криволінійної трапеції: відрізок [а;b] розбивається на п відрізків однакової довжини точками

Введення означення інтегралу. Формула Ньютона-Лейбніца:

Застосування інтегралу:

1. Обчислення площ фігур.

2. Обчислення об'ємів тіл.

3. В механіці.

Найпростіші диференціальні рівняння в шкільному курсі математики.

Роль і місце даної теми в шкільному курсі математики: детальне вивчення теми тільки в умовах поглибленого вивчення математики (спецкласи і факультатив).

Гармонійне коливання

- диференціальне рівняння гармонійного коливання.

Геометричний смисл диференціального рівняння.

Похідна й інтеграл - це фундаментальні математичні поняття, без яких немислимі сучасне природознавство й техніка. Вивчення розділів, пов'язаних з похідною й інтегралом, сприяє формуванню світогляду школярів: вони дають багаті можливості для створення правильного розуміння відношення математики до реального світу, для ілюстрації формування математичних понять у зв'язку з потребами науки і практики і застосування математичних теорій до розв'язування задач. Крім того, вивчення цих розділів сприяє загальному розвитку школярів, виробленню спроможності до напруженої розумової праці, розвиває уміння чітко і послідовно мислити, обґрунтовувати свої міркування і вникати у переконання інших.

Основним завданням вивчення елементів математичного аналізу в школі є ознайомлення учнів з деякими основними поняттями, теоретичними положеннями, методами і практичними застосуваннями математичного аналізу, а також створення достатньої бази для подальшого вдосконалення знань випускників шляхом самоосвіти чи при продовженні навчання у вузі.

Аналіз програм 12-річної школи.

У старшій школі вивчення математики диференціюється за трьома рівнями: рівнем стандарту, академічним і профільним. Кожному з них відповідає окрема навчальна програма.

Програма рівня стандарту визначає зміст навчання предмета, спрямований на завершення формування в учнів уявлення про математику як елемент загальної культури. При цьому не передбачається, що в подальшому випускники школи продовжуватимуть вивчати математику або пов’язуватимуть з нею свою професійну діяльність.

Програма академічного рівня задає дещо ширший зміст і вищі вимоги до його засвоєння у порівнянні з рівнем стандарту. Вивчення математики на академічному рівні передбачається передусім у тих випадках, коли вона тісно пов’язана з профільними предметами і забезпечує їх ефективне засвоєння. Крім того, за цією програмою здійснюється математична підготовка старшокласників, які не визначилися щодо напряму спеціалізації.

Програма профільного рівня передбачає поглиблене вивчення предмета з орієнтацією на майбутню професію, безпосередньо пов’язану з математикою або її застосуваннями.

У пропонованій програмі академічного рівня, з метою забезпечити для учнів можливість зміни рівня навчання математики, у кожному класі, в основному, збережено назви і послідовність вивчення тем, передбачених програмою рівня стандарту. Зміст навчального матеріалу доповнено, а перелік навчальних досягнень учнів конкретизовано і уточнено у відповідності до Державного стандарту. Частина навчального матеріалу, що подана у квадратних дужках, не є обов’язковою для вивчення і не виноситься для тематичного контролю.

При навчанні математики на академічному рівні основна увага приділяється не лише засвоєнню математичних знань, а й виробленню вмінь застосовувати їх до розв’язування практичних і прикладних задач, оволодінню математичними методами, моделями, що забезпечить успішне вивчення профільних предметів – хімії, фізики, біології, технологій. При цьому зв’язки математики з профільними предметами посилюються за рахунок розв’язання задач прикладного змісту, ілюстрацій застосування математичних понять, методів і моделей у шкільних курсах хімії, біології, фізики, технологій.

Вивчаючи математику, старшокласники мають усвідомити, що процес її застосування до розв’язування будь-яких прикладних задач розчленовується на три етапи: 1) формалізація (перехід від ситуації, описаної у задачі, до формальної математичної моделі цієї ситуації, і від неї – до чітко сформульованої математичної задачі); 2) розв’язування задачі у межах побудованої моделі; 3) інтерпретація одержаного розв’язання задачі та застосування його до вихідної ситуації.

Залежно від профілю може використовуватись варіативна складова навчального плану, що передбачає вивчення спецкурсів, факультативів, курсів за вибором, орієнтованих на посилення міжпредметних зв’язків математики з профільними предметами. Наприклад, такі курси за вибором “Математичні методи обробки результатів хімічного експерименту”, “Математичне моделювання у біології”, “Прийоми графічного зображення властивостей технічних об’єктів і процесів” тощо. Їх вивчення не лише посилює міжпредметні зв’язки, а й сприяє успішному засвоєнню учнями профільних предметів.